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基于“数学三个世界”理论的数学创课设计及

反思

作者：陈妮妮唐剑岚

来源：《中小学课堂教学研究》2017年第10期

【摘要】本文从优化传统教学的角度探讨数学创课设计。首先，概述“数学三个世界”理论

的基本观点；然后，以“函数的单调性”教学为例，从学生的认知结构出发，探讨基于“数学三

个世界”理论应用Hawgent皓骏动态数学软件设计数学创课的基本环节，以突出重点、突破难

点、明晰关键点，使学生在获取知识的同时，发展其数学核心素养；最后，从核心素养的角度

出发，对本节课进行反思品评。

【关键词】数学创课；三个世界理论；Hawgent皓骏动态数学软件

一、“数学三个世界”理论的基本观点

“数学三个世界”理论是韬尔（DavidTall）团队以认知主义和建构主义的主要观点为基

础，吸收新皮亚杰认知理论，融入杜宾斯基APOS理论等精髓而提出的数学学习理论。该理论

的基本观点是：学习者的数学认知基于学习者原有的知识与经验而不断建构起来，具有累积

性；学习者的数学认知发展经历具体化世界、符号化世界、形式化世界三个水平，具有发展性

[1-2]（如图1）。

（一）具体化世界

具体化世界主要指概念具体化世界（conceptualembodiedworld）。这个阶段主要是感性认

识阶段，学习者通过与数学学习环境的互动，实现把外界环境中的原始数学对象（如生活中的

原始数学概念等）转变为具体化的数学世界（如课本上具体概念的例子、问题等数学学习对

象）。为了促进此阶段的认知发展，教师应提供具体的、丰富的学习素材，激活学习者原有的

知识与经验，找准新旧知识的逻辑关系，使学习者经历直观感知、动手操作、想象联想、交流

分享等数学学习活动。一般而言，具体化世界是数学学习的第一个阶段，其标志性的学习活动

是用言语把外界环境中的数学原始对象表述为具体的数学对象，这是培养学生直观想象、数学

抽象等核心素养的重要阶段。

（二）符号化世界

符号化世界也叫过程符号化世界（proceptualsymbolicworld），包括符号的过程性和概念

性两个过程。这个阶段主要是从感性认识上升到理性认识的阶段，它基于对认知的操作和行动

的反思，实现从具体化数学世界到符号化数学世界的转化。为了促进此阶段的认知发展，教师

应设计具体的数学实例、丰富的学习活动，使学习者经历概念辨析、关键理解、类比推理、逻

辑推理、运算求解、归纳概括等数学学习活动。一般而言，符号化世界是数学学习的难点，其

标志性的学习活动是用数学符号语言把具体化的数学对象表述为符号化的数学对象，用概括性

的语言描述具体化或符号化的数学对象的认知过程，这是培养学生数学抽象、逻辑推理、数据

分析、数学运算等核心素养的重要阶段。

（三）形式化世界

形式化世界也叫公理形式化世界（formalaxiomaticworld）。这个阶段是理性认识的深入

阶段，基于对具体化和符号化世界的反思，实现从符号化数学世界到形式化数学世界的转化。

为了促进此阶段的认知发展，教师应设计丰富的形式化活动，使学习者经历变式训练、原理迁

移、系统建构等数学学习活动。一般而言，形式化世界更是数学学习的难点，其标志性的学习

活动是用数学语言高度抽象和概括具体化或符号化的数学思维的共性，形成认识数学的一般规

律与方法。这也是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的重要阶段。

二、基于“数学三个世界”理论应用Hawgent皓骏动态数学软件的数学创课案例

（一）课例的基本背景

“函数的单调性”是人教版A版数学必修1“函数的基本性质”的重点内容。本节课既是对“初

中利用函数图象感性认识增减性”的延续和升华，也为今后学习“基本初等函数以及利用导数研

究函数单调性”等内容奠定基础。本节课的重点是单调函数的定义，难点是函数单调性的运

用。学生已具备直观感知图象和初步刻画函数增减性的经验，如能借助Hawgent皓骏动态数学

软件从“数”与“形”的角度动态分析函数单调性的过程，将能增强学习的有效性。

（二）数学创课的设计过程

根据Hawgent皓駿动态数学软件的功能和数学创课的特点，基于“数学三个世界”理论和本

课分析，本节数学创课设计过程分为以下几个环节：问题思考—语言转译—关键剖析—牛刀小

试—小结反思。

问题思考1

首先，教师呈现“观察一次函数f（x）=x，f（x）=-x和二次函数f（x）=x2的图象，看看

其有何变化规