计量经济学讲义第一讲(共十讲) (一).pdfVIP

第一讲普通最小二乘法的代数

一、问题

假定y与x具有近似的线性关系：丁4+四％+£,

其中£是随机误差项。我们对用、用这两个参数的值一

无所知。我们的任务是利用样本数据去猜测河、舟的

取值。现在，我们手中就有一个样本容量为N的样本,

其观测值是：X（,%）,%（，%2），…，（VN，％N）。问题是，如

何利用该样本来猜测小、力的取值？

为了回答上述问题，我们可以首先画出这些观察

值的散点图横（轴x,纵轴y）。既然y与x具有近似

的线性关系，那么我们就在图中拟合一条直线：

£尺+顶工。该直线是对y与x的真实关系的近似，

而反,区分别是对用,4的猜测估（计）。问题是，如何

确定瓦与笈，以使我们的猜测看起来是合理的呢？

笔记：

1,为什么要假定y与x的关系是丁+/%+£呢？一种合

理的解释是，某一经济学理论认为x与y具有线性的因果关系。

该理论在讨论x与y的关系时认为影响y的其他因素是不重要

的，这些因素对y的影响即为模型中的误差项。

2、y4+四％+£被称为总体回归模型。由该模型有：

y\%）4+3（\X+E（目x）。既然£代表其他不重要因素对y

E（

的影响，因此标准假定是：E（^|x）Oo故进而有：

E（y|x）/?）（+4%,这被称为总体回归方程（函数），而

八.

94）+/?|X相应地被称为样本回归方程。由样本回归方程确定

的9与y是有差异的，丁一$被称为残差£。进而有：

人人

y4）+4x+£,这被称为样本回归模型。

二、两种思考方法

法一：

如（为，…，4）与%（，％，…，N）是N维空间的两

点，A与乐的选择应该是这两点的距离最短。这可以

归结为求解一个数学问题：

NN

2

一X-）讥ZK（一方。一BN

A）＞P\?•=]i=i

由于y-白.是残差我的定义，因此上述获得瓦与6的方

法即是A与6的值应该使残差平方和最小。

法二：

给定王，看起来X与力越近越好（最近距离是0）。

然而，当你选择拟合直线使得y与无是相当近的时候,

匕与少的距离也许变远了，因此存在一个权衡。一种

简单的权衡方式是，给定拟合直线的选择

应该使,与%、%与%、…、W与片的距离的平均值

是最小的。距离是一个绝对值，数学处理较为麻烦，

因此，我们把第二种思考方法转化求解数学问题:

NN

Ly/N=一A-/N

PQP\/=|A）/j=]

于N为常数，因此法一与法二对于求解A与分的值

是无差异的。

三、求解

N

定义。=£/（-6）-/心）2,利用一阶条件,有:

/=1

SQ=£2K（—A—£%）—（1）=0

=Zy（-A-/内）=。