备战2025年高考精品课件 数学 第七章 第5讲 空间向量及空间位置关系.pptx

第七章立体几何与空间向量第5讲空间向量及空间位置关系

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课标要求命题点五年考情命题分析预测1.(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标

系刻画点的位置；(2)借助特殊长方体顶点的坐

标，探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念.空间向

量的基

本定理该讲知识是利

用空间向量求

解立体几何问

题的基础，

课标要求命题点五年考情命题分析预测3.(1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握

空间向量的正交分解及其坐标表示；(2)掌握

空间向量的线性运算及其坐标表示；(3)掌握

空间向量的数量积及其坐标表示；(4)了解空

间向量投影的概念以及投影向量的意义.空间向

量的坐

标运算主要用来求解

平面的法向量

和直线的方向

向量，

课标要求命题点五年考情命题分析预测4.(1)理解直线的方向向量与平面的法向

量；(2)能用向量语言表述直线与直线、

直线与平面、平面与平面的垂直与平行

关系；(3)能用向量方法证明有关直线、

平面位置关系的判定定理.利用向

量法证

明平行

与垂直

问题2021新高考卷

ⅡT10；2021全

国卷甲T19；

2021浙江T6；

2020天津T17以及利用向量

解决空间位置

关系的判断问

题，考查数学

运算素养.

1.空间向量的三个定理共线向

量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使①?.共面向

量定理若两个向量a，b②，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有

序实数对(x，y)，使③?.空间向

量基本

定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有

序实数组(x，y，z)，使得p＝④，{a，b，c}叫做空间的一

个基底.注意(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(2)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.a＝λb不共线p＝xa＋ybxa＋yb＋zc

规律总结应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法P，A，B三点共线M，P，A，B四点共面

2.空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；(2)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(3)a·b＝⑤?；(4)a∥b?a＝λb(b≠0)?⑥?；(5)a⊥b?a·b＝0?⑦?；??a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

规律总结空间两点间的距离及中点坐标公式设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则(1)AB＝⑧?；??

3.直线的方向向量和平面的法向量直线的

方向向

量如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a

为直线l的方向向量.平面的

法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.一个平面

的法向量有无数个，它们是共线向量.

确定平面法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的

法向量.?注意n＝(0，0，0)不能作为法向量.

方法技巧向量的叉乘a×b运算得出的是与a，b垂直的向量，所以可以利用叉乘计算平面的

法向量，运算法则如下：?

4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2