常微分第一二章.pptVIP

常微分方程

目录第一章绪论第二章一阶微分方程的初等解法第三章一阶微分方程的解的存在定理第四章高阶线性微分方程第五章线性微分方程组

第一章绪论一、为什么要学习常微分方程二、怎样学好常微分方程请点击

1、微分方程是数学联系实际的主要桥梁之一，是各门专业课重要的数学工具——实践中的一些常微分方程.2、数学分析〔微积分〕、高等代数、解析几何等提供的数学方法，在〔常〕微分方程中得到了综合应用——进一步加深了对数学的理解和兴趣，认识到学习数学的必要性；同时，我们也可看到物理、力学、电学等的一些根本概念、根本定理，在建立实际问题的数学模型中可起到的重要作用.一、为什么要学习常微分方程请点击

例1.物体冷却过程的数学模型解(1)物理依据——Newton冷却定律：物质温度变化速度与该物质和其所在介质的温差成正比，即(2)数学模型——一阶常微分方程初始条件实际问题中的一些常微分方程

(3)求解通解：特解：代入初始条件(4)本问题的温度与时间的关系——确定k的值(5)答案

例2.解析几何模型解(1)依据:(2)数学模型(3)求解通解：曲线族特解：过(1,2)满足题意的一条曲线

例3.单摆运动数学模型解(2)数学模型(3)求解得摆动球的运动规律.一根长为l的细杆，一端联结一个质量为m的球M,另一端悬挂在O点，假设不计细杆的质量，在重力的作用下细杆在某一铅直平面上摆动，求摆球的运动规律.(1)物理依据：牛顿第二定律——力的分析：作用在M上且对摆动起作用的力有：?

一些根本概念1.微分方程，“阶”：

2.线性和非线性3.通解和特解，初始条件〔定解条件之一〕4.方向场〔线素场〕和积分曲线一阶微分方程的积分曲线是这样一种曲线，在它上的每一点(x,y)处的切线斜率等于的f(x,y)——一阶微分方程(*)(解〕的几何意义.一阶方程(*)的在G内每一点(x,y)上给出了一个斜率，它以一小段斜率为f(x,y)的直线表示，形成了G内的一个线素场.

例画出方程的线素场，并近似地描出积分曲解在等倾线上作出斜率为k的诸线素，我们令k=0,1,4,9,……；按线素场的变化趋势，就可近似描出此方程的各条解曲这是利用一阶方程定义的线素场作积分曲线(族)的方法.备注：自学P.14上的例线.可作出此方程决定的线素场.线在x－y平面上的几何图形——积分曲线(族).是分别过点(0,0),(1/2,0),(1,0)的三条积分曲线.图中所示的

二、怎样学好常微分方程教学原那么理科的教材，理科的思维，工科的处理.1.内容适度加深，方法适度加多，道理讲得更透；2.初步学习理科〔数学〕论证的思维方法；3.重视应用，重视计算，重视解题格式；4.适度减弱教材中某些理论证明，补充工程中常用的，工程师喜用的解题方法.表达在：

1.准确、熟练地掌握根本概念、根本解法，了解相关的根本理论.2.初步学会由实际问题建立数学模型、求解、再回到〔解释、解决〕实际问题的方法.3.认真听好课，及时预习和复习;上好习题课，按质、按量及时完成作业.4.32学时的初步分配：第一、二章：用5次课;〔穿插课堂习题〕第三章：用3次课;第四章：用4次课;第五章：用4次课.学习要求每人准备两个练习本！

第二章一阶微分方程的初等解法一阶微分方程显式隐式六种解法〔工具箱〕请点击别离变量法常数变易法变量代换法凑全微分法积分因子法引入参数法

、别离变量法〔直接积分法〕主要对象：变量已别离方程1.方程解得隐式通解注意

例1解将变量别离两边积分，得通解为代入初始条件，得所求特解为千万不要漏掉了哦!

例2解即显然还有解y=0，但它可包含在上式中〔对应c=0)，上式就是显式通解.

将变量别离，得积分之，得通积分注意:可能遗解.解例3解2.

一些有代表性的方程〔类〕，常常可通过引入适当的1.齐次方程可令y=ux,化为方程、变量代换法变量代换，化为变量已别离型方程或线性方程，从而用已知方法求解.例如

积分得代回原变量为例6解

方程化为此时变量已别离.2.

1。求出两直线交点2。作坐标平移得例7解

3。作代换得积分后，整理得4。代回原变量再整理得通解

3.恰当的变量代换也可使以下类型的方程到达别离变量的目的：

对象:一阶线性方程标准化为它对应的齐线性方程是前面例2中它的通解是非齐线性方程的解希望有形式、常数变易法解

代入方程，化简得得代入上述形式，得非齐线性方程通解公式

先标准化为求出的通解为令原方程解的形式为代入后，化简为求出最后得原方程通解例4解

原方程改写成用公式，得例5解

2.2.2.贝努里方程它可