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突破3.2简单的三角恒等变换
一、考情分析
三角函数是高中数学的一个重要知识板块,也是高考的热点和重点内容.在考察中,以容易题和中档题为主.在复习本部分内容时,应该充分利用数形结合的思想,把图象和性质有机结合.利用图象的直观性得出函数的性质,同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象.而在三角变换中,角的变换,三角函数名称的改变,三角函数次数的变换,三角函数表达形式的变换,频繁出现.因此,在训练中,要清楚各种公式,以及它们之间的联系,注意总结规律,并在应用中注意分析比较,提高能力.
二、经验分享
1同角三角函数的基本关系式:,=,
2正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
3和角与差角公式
;;
.
=(由点的象限决定,).
3二倍角公式及降幂公式
.
.
4三角函数的周期公式
函数,(A,ω,为常数,且A≠0)的周期;
函数,(A,ω,为常数,且A≠0)的周期.
三角函数的图像:
三、题型分析
(一)利用半角以及二倍角公式求函数值
例1.(1)(2018·全国高考真题(文))若,则()
A. B. C. D.
(2)(2019·四川高三月考(文))已知,则()
A. B. C. D.
【变式训练1】.若,则等于()
A. B. C. D.
【变式训练2】.若,则的值为()
A. B. C. D.
(二)利用辅助角公式研究函数性质
例2.(2017·北京高一期中)函数的最小正周期为__________,最大值为__________.
例3.(2019·上海高三)已知函数.
(1)求的定义域;
(2)求函数在区间内的零点.
【变式训练1】.(2018·广东高三学业考试)函数,则的最大值和最小正周期分别为()
A.2和 B.4和 C.2和 D.4和
【变式训练2】.(2018·佛山市南海区桂城中学高一期中)已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)当时,求的值域.
(三)三角函数在实际问题中的应用
例4.(2019·重庆高三(理))被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示成,则()
A. B. C. D.
例5.(2018江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.
(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
【变式训练1】.(2014湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数
关系:,.
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温?
【变式训练2】.(2019·安徽高三月考(理))已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为.
(1)求的值;
(2)将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求的值.
四、迁移应用
1.【北京市东城区2019届高三下学期综合练习(二模)】如图,在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,终边分别是射线OA和射线OB.射线OA,OC与单位圆的交点分别为,.若,则的值是
A. B.
C. D.
2.【广东省南海中学等七校联合体2019届高三下学期冲刺模拟】已知函数的周期为,当时,方程恰有两个不同的实数解,,则()
A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2
3.【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】已知函数的图象与直线恰有三个公共点,这三个点的横坐标从小到大依次为,则()
A.-2 B.2 C.-1 D.1
4.【江西省名校(临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】关于的方程在内有且仅有个根,设最大的根是,则与的大小关系是()
A. B. C. D.以上都不对
5.【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】在平面直角坐标系中,角的顶点与原点重合,始边与x的非负半轴重合,终边过点,则______________。
6.【上海市崇明区2019届高三三模】函数的单调递增区间为______
7.【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4,将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象,则___________.
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