专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数-高考数学一轮复习（文理通用）（原卷版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数

必威体育精装版考纲

1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

基础知识融会贯通

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.

3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，

则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

三个三角函数的性质如下表：

三角函数

定义域

第一象限符号

第二象限符号

第三象限符号

第四象限符号

sinα

R

＋

＋

－

－

cosα

R

＋

－

－

＋

tanα

{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}

＋

－

＋

－

4.三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.

【知识拓展】

1．三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

2．任意角的三角函数的定义(推广)

设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

重点难点突破

【题型一】角及其表示

【典型例题】

已知集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）

A． B．

C． D．

【再练一题】

直角坐标系内，β终边过点P（sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（）

A．2+2πk，k∈Z B．2+kπ，k∈Z

C．2+2kπ，k∈z D．﹣2+2kπ，k∈Z

思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．

(2)确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法

先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．

【题型二】弧度制

【典型例题】

已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（）

A．1 B．4 C．1或4 D．1或2

【再练一题】

将300°化成弧度得：300°＝rad．

思维升华应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

【题型三】三角函数的概念及应用

命题点1三角函数定义的应用

【典型例题】

已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）

A． B． C．1 D．﹣1

【再练一题】

已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）

A． B． C． D．

命题点2三角函数线的应用

【典型例题】

已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b

【再练一题】

已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（）

A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c

思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．

(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角