专题40 空间点、直线、平面之间的位置关系-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题40空间点、直线、平面之间的位置关系

必威体育精装版考纲

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

2.了解可以作为推理依据的公理和定理.

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

基础知识融会贯通

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

【知识拓展】

1．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

重点难点突破

【题型一】平面基本性质的应用

【典型例题】

在下列命题中，不是公理的是（）

A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

B．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．垂直于同一条直线的两个平面相互平行

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线

【解答】解：在A中，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内，公理，故A错误；

在B中，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，是公理，故B错误；

在C中，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，是定理，不是公理，故C正确；

在D中，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，

这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线是，是公理，故D错误．

故选：C．

【再练一题】

如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC＝DH：HC＝1：2．

（1）求证：E、F、G、H四点共面；

（2）设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．

【解答】证明：（1）△ABD中，∵E、F为AD、AB中点，∴EF∥BD．

△CBD中，BG：GC＝DH：HC＝1：2，

∴GH∥BD，∴EF∥GH（平行线公理），

∴E、F、G、H四点共面．

（2）∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，

∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

∴P∈直线AC．

∴P、A、C三点共线．

思维升华共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

【题型二】判断空间两直线的位置关系

【典型例题】

直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为（）

A．平行 B．异面 C．相交 D．异面或相交

【解答】解：假设l∥b，又l∥a，根据公理3可得a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故假设不成立，所以l与b异面或相交．

故选：D．

【再练一题】

A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，

（1）求证：直线EF与BD是异面直线；

（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

【解答】（1）证明：用反证法．设EF与BD不是异面直线，

则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，

所以A、B、C、D在同一平面内，

这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．

故直线EF与BD是异面直线．