专题53 抛物线-高考数学一轮复习(文理通用)（原卷版）.doc

专题53抛物线

必威体育精装版考纲

1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

基础知识融会贯通

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

【知识拓展】

1．抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．

2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4).

3．设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.

(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．

重点难点突破

【题型一】抛物线的定义及应用

【典型例题】

已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）

A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x

【再练一题】

已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）

A．5 B． C．4 D．

思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

【题型二】抛物线的标准方程和几何性质

命题点1求抛物线的标准方程

【典型例题】

已知抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），则抛物线的标准方程为（）

A．x2＝4y B．x2＝﹣4y C．y2＝4x D．y2＝﹣4x

【再练一题】

已知抛物线y2＝24ax（a＞0）上的点M（3，y0）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（）

A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x

命题点2抛物线的几何性质

【典型例题】

已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣4a＜0）当|AB|+|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝（）

A．1 B． C． D．2

【再练一题】

过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若|NF|＝10，则|MF|＝（）

A． B． C． D．

思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

【题型三】直线与抛物线的综合问题

命题点1直线与抛物线的交点问题

【典型例题】

过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则|AB|＝（）

A．9 B．72 C． D．36

【再练一题】

已知抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y＝2x﹣5上，若||＝2，则△ABC面积的最小值为（）

A．5 B．4 C． D．1

命题点2与抛物线弦的中点有关的问题

【典型例题】

设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过点P（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则|AB|＝（）

A．2 B． C．4 D．5

【再练一题】

设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过点P（﹣2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若，则|AB|＝（）

A． B． C． D．

思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．

基础知识训练

1．【陕西省2