专题09 与旋转有关的最值问题（原卷版）-【重难点突破】2021-2022学年八年级数学下册常考题专练（北师大版） .pdfVIP

专题09与旋转有关的最值问题

题型一菱形中的

1．如图，在RtDABC中，ÐC=90°，AC=1，BC=3，点O为RtDABC内一点，连接A0、BO、CO，

且ÐAOC=ÐCOB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将DAOB绕点B

顺时针方向旋60°，得到△A¢O¢B（得到A、O的对应点分别为点A¢、O¢)，则ÐA¢BC=，

OA+OB+OC=．

2．如图，已知等腰三角形ABC，CA=CB=6cm，AB=8cm，点O为DABC内一点（点O不在DABC边界

上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出OA+OB+OC的最小值

为．

3．如图，在DABC中，AB=BC=3，ÐABC=30°，点P为DABC内一点，连接PA、PB、PC，

PA+PB+PC的最小值为()

A．32B．3+2C．33D．3+3

4．已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．

5．如图，已知ÐBAC=60°，AB=4，AC=6，点P在DABC内，将DAPC绕着点A逆时针方向旋60°

得到DAEF．则AE+PB+PC的最小值为()

A．219B．8C．53D．62

6．问题背景：如图1，将DABC绕点A逆时针旋60°得到DADE，DE与BC交于点P，可推出结论：

PA+PC=PE．

问题解决：如图2，在DMNG中，MN=6，ÐM=75°，MG=42．点O是DMNG内一点，则点O到DMNG

三个顶点的距离和的最小值是．

7．（1）【操作发现】

如图1，将DABC绕点A顺时针旋50°，得到DADE，连接BD，则ÐABD=度．

（2）【解决问题】

①如图2，在边长为7的等边三角形ABC内有一点P，ÐAPC=90°，ÐBPC=120°，求DAPC的面积．

②如图3，在DABC中，ÐACB=90°，AC=BC，P是DABC内的一点，若PB=1，PA=3，ÐBPC=135°，

则PC=．

（3）【拓展应用】

如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB=4，BC=32，ÐABC=75°，P为DABC内的

一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．

8．问题提出

（1）如图①，已知DOAB中，OB=3，将DOAB绕点O逆时针旋90°得△OA¢B¢，连接BB¢．则BB¢=；

问题探究

（2）如图②，已知DABC是边长为43的等边三角形，以BC为边向外作等边DBCD，P为DABC内一点，

将线段CP绕点C逆时针旋60°，点P的对应点为点Q．

①求证：DDCQ@DBCP；

②求PA+PB+PC的最小值；

问题解决

（3）如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB=500米，AD=800米，顶点A，D为两个出口，

现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建

三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建

专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）

9．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在DABC(ÐBAC是一个可以变化的角），AB=2，AC=4，以BC为边在

BC的下方作等边DPBC，求AP的最大值．

小明是这样思考的：利用变换和等