专题09 正方形中的最值（解析版）.pdfVIP

专题09正方形中的最值

【例题讲解】

AP+BP+CP

_______

P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则的最小值为

【详解】如解图，将绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，∵AP=AF,ÐPAF=60°，

VABP

∴△PAF是等边三角形，∴PA=PF=AF，EF=PB，∴PA+PB+PC=EF+PF+PC，

∴当EFPC共线时，PA+PB+PC最小，作EM^DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB

､､､

NABNMRtVAME

的延长线于，则四边形是矩形，在中，

∵ÐM=90°,ÐMAE=30°,AE=2，∴ME=1,AM=BN=3，∵MN=AB=2，

∴EN=1，∴222222

EC=EN+NC=1+(3+2)=8+43=(6)+2×6×2+(2)

=(6+2)2=6+2．∴PA+PB+PC的最小值为6+2．

【综合演练】

1．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的

最小值为（）

A．4B．42C．25D．5

【答案】D

【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在

Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．

【详解】∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与D关于直线AC对称，

∴DN=BN，

连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，

∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，

∴AC是线段BD的垂直平分线，

又∵CD=4，DM=1

∴CM=CD-DM=4-1=3，

Rt△BCMBM=2222

在中，CM+BC=3+4=5

故DN+MN的最小值是5．

故选：D．

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由

轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．

2PABCDMPBCM

．如图，为正方形内一动点，PA=AB=4，为的中点，则的最小值为（）

1213

A．B．C．22D．25-2

55

【答案】D

ABNMNMN

【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线的性质可求出的长度，然后根据三角

形三边关系即可求出CM的最小值．

【详解】解：因为，M为PB的中点，

PA=AB=4

取AB的中点N，连接MN，CN，

易得CN=25，