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二项式定理知识点和各种题型归纳带答案

二项式定理

1．二项式定理：

(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn(nN)，2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做

(abn

)的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,,n).

③项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。用

T

r1Cnranrbr表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n1)项。

②顺序：注意正确选择

a,

b,其顺序不能更改。

(

abn

与

(ba)n

是不同的。

)

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的

次数和等于n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.项的系

数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2CnrxrCnnxn(nN)

令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2Cnrxr(1)nCnnxn(nN)

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn，···CnkCnk1

②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n，

变形式Cn1Cn2CnrCnn2n1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令a1,b1，则Cn0Cn1Cn2Cn3(1)nCnn(11)n0，

从而得到：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3Cn2r112n2n1

2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

(ax)nCn0anx0Cn1an1xCn2an2x2Cnna0xna0a1x1a2x2anxn

(xa)nCn0a0xnCn1axn1Cn2a2xn2Cnnanx0anxna2x2a1x1a0

令x1,则a0a1a2a3an(a1)n①

令x1,则a0a1a2a3an(a1)n②

①②得,a0a2a4an(a1)n

2

(a1)n(奇数项的系数和)

①②得,a1a3a5an(a1)n

2

(a1)n(偶数项的系数和)

n

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。

n是奇数时，则中间两项的二项式系数n1n1

如果二项式的幂指数Cn2,

Cn

2

同时

取得最大值。

⑥系数的最大项：求(abx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为A1,A2,,An1，设第r1项系数最大，应有

Ar1Ar

Ar，从而解出r来。

1A

r2

6．二项式定理的十一种考题的解法：

题型一：二项式定理的逆用；

例：Cn1Cn26Cn362Cnn6n1.

解：(16)nCn0Cn16Cn262Cn363Cnn6n与已知的有一些差距，

Cn1Cn26Cn362Cnn6n11

(Cn16Cn262Cnn6n)

1

6

11

(Cn0Cn16Cn262Cnn6n1)[(16)n1](7n1)

666

练：Cn13Cn29Cn33n1Cnn.

解：设SC13C29C33n1Cn，则

nnnnn

3SnCn13Cn232Cn333Cnn3nCn0Cn13Cn232Cn333Cnn3n1(13)n1

Sn(13)n14n1

33

题型二：利用通项公式求xn的系数；

例：在二项式(413x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？

x

解：由条件知Cnn245，即Cn245，n2n900，解得n9(舍去)或n10，由

1

2

10r2

r

Tr1C10r

(x4)

10

r

(