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科学和工程计算基础复习题

填空题:

评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:计算结果的精度和得到结果需要付出的代价.

计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,主要由使用数据的数量决定.

用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算.

对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是数值不稳定的,否则是数值稳定的.

函数求值问题的条件数定义为:

单调减且有下界的数列一定存在极限;单调增且有上界的数列一定存在极限.

方程实根的存在唯一性定理:设且,则至少存在一点使.当在上存在且不变号时,方程在内有唯一的实根.

函数在有界闭区域D上对满足Lipschitz条件,是指对于D上的任意一对点和成立不等式:.其中常数L只依赖于区域D.

设为其特征值,则称为矩阵A的谱半径.

设存在,则称数为矩阵的条件数,其中是矩阵的算子范数.

方程组,对于任意的初始向量和右端项,迭代法收敛的充分必要条件是选代矩阵B的谱半径.

设被插函数在闭区间上阶导数连续,在开区间上存在.若为上的个互异插值节点,并记,则插值多项式的余项为,其中.

若函数组满足k,l=0,1,2,…,n,则称为正交函数序列.

复化梯形求积公式,其余项为

复化Simpson求积公式

,其余项为

选互异节点为Gauss点,则Gauss型求积公式的代数精度为2n+1.

如果给定方法的局部截断误差是,其中为整数,则称该方法是P阶的或具有P阶精度.

微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响数值解的稳定性和精度,给数值计算造成很大的实质性困难的现象.

迭代序列终止准则通常采用，其中的为相对误差容限.

在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组(牛顿方程)的系数矩阵非奇异并良态.

选择题

1.下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组的充分条件?(D)

A.矩阵的各阶顺序主子式均不为零;B.对称正定;

C.严格对角占优;D.的行列式不为零.

2.高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的?(B)

A.;B.;C.;D..

用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.(√)

用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.(×)

单调减且有下界的数列一定存在极限。(√)

设,则的充要条件是的谱半径.(√)

若,则一定有.(×)

求解线性代数方程组,当很大时,Cholesky分解法的计算量比Gauss消去法大约减少了一半.(√)

在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快.(√)

均差(或差商)与点列的次序有关.(×)

线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关.(×)

复化梯形求积公式是2阶收敛的,复化Simpson求积公式是4阶收敛的.(√)

Gauss求积系数都是正的.(√)

在常微分方程初值问题的数值解法中,因为梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的算术平均,而Euler公式和隐式Euler公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法.(×)

在Runge-Kutta法中,通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶.(√)

求解的梯形公式是无条件稳定的.(√)

在常微分方程初值问题的数值解法中,不论单步法还是多步法,隐式公式比显式公式的稳定性好.(√)

迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率.(√)

在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组.(√)

常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离