2024年圆知识点归纳北师大版本.doc

《圆》知识要點归纳總結

一．圆及有关概念：

圆——到定點的距离等于定長的點的集合

圆的内部——可以看作是圆心的距离不不小于半径的點的集合

圆的外部——可以看作是圆心的距离不小于半径的點的集合

等圆——圆心不相似，半径相等的圆；同心圆——圆心相似，半径不等的圆。

弧——圆上任意两點间的部分叫做圆弧，简称弧。按与半圆的大小关系可分為：优弧和劣弧

等弧——在同圆或等圆中，可以重叠的两条弧

弦——连接圆上任意两點间的线段叫做弦，通過圆心的弦叫做直径，直径是最長的弦。

弦心距——圆心到直线的距离

弓形——弧与所對的弦所构成得图形。

圆的内部——到圆心的距离不不小于半径的點的集合叫做圆的内部

圆的外部——到圆心的距离不小于半径的點的集合叫做圆的外部

二．与圆有关的角：

圆心角：顶點在圆心的角

圆周角：顶點在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

[补充]弦切角、圆内角、圆外角及性质：

顶點在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

顶點在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的二分之一.

顶點在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其對顶角所截弧度数和的二分之一.

三．圆的轴對称性：

圆是轴對称图形，其對称轴是任意一条過圆心的直线；是中心對称图形，對称中心是圆心；其特有旋转不变性。

垂径定理——垂直于弦的直径平分這条弦，并且平分弦所對的两条弧

垂径定理的推论

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所對的两条弧

②弦的垂直平分线通過圆心，并且平分弦所對的两条弧

③平分弦所對的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一条弧

④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

根据垂径定理及其推论①②③可概括為5.2.3定理：對于一条直线和一种圆来說，假如具有下列五個条件中的任意两個，那么也具有其他三個：①垂直弦②過圆心③平分弦④平分弦所對的优弧⑤平分弦所對的劣弧

圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

推论（4.1.3定理）——在同圆或等圆中，假如两個圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它們所對应的其他各组量都相等

四．圆周角与圆心角的关系：

定理一条弧所對的圆周角等于它所對的圆心角的二分之一

推论1同弧或等弧所對的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所對的弧也相等

推论2半圆（或直径）所對的圆周角是直角；90°的圆周角所對的弦是直径

推论3假如三角形一边上的中线等于這边的二分之一，那么這個三角形是直角三角形

五．确定圆的条件：

定理——不在同一直线上的三點确定一种圆。

有关概念及性质——

三角形的外接圆圆的内接三角形三角形的外心

三角形的外心的性质：三角形的外心到各個顶點的距离相等。

[补充]定理：圆的内接四边形的對角互补，并且任何一种外角都等于它的内對角

六．直线和圆的位置关系：

①直线和圆相交②直线和圆相切③直线和圆相离

直线和圆位置关系的鉴定：

①根据定义②根据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系

圆的切线的鉴定：

定义②根据d=r

③定理：通過直径的一端（或半径的外端）并且垂直于這条直径（或半径）的直线是圆的切线

圆的切线证明的两种状况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。

切线的性质定理及推论——

定理：圆的切线垂直于通過切點的半径

推论1通過圆心且垂直于切线的直线必通過切點.推论2通過切點且垂直于切线的直线必通過圆心

根据性质定理及两個推论的条件和結论间的关系，總結出如下結论（3.2.1定理）：

假如一条直线具有下列三個条件中的任意两個，就可推出第三個．

(1)垂直于切线；(2)過切點；(3)過圆心．

有关概念及性质：三角形的内切圆圆的外切三角形三角形的内心

三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形各边距离相等

[补充]（只做理解）

1.圆的外切四边形两组對边和相等

2.切线長定理：從圆外一點引圆的两条切线，切线長相等，圆心和這一點的连线平分两条切线的夹角

3.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧對的圆周角

4.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交點提成的两条线段長的积相等

5.切割线定理：從圆外一點引圆的切线和割线，切线長是這點到割线与圆交點的两条线段長的比例中项

推论：從圆外一點引圆的两条割线，這一點到每条割线与圆的交點的两条线段長的积相等

七．圆和圆的位置关系：

①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含0≤＜d＜R-r(R＞r)

两圆相