第10讲 勾股定理逆定理及简单应用（3种题型）（解析版）-八年级数学.pdfVIP

第10讲勾股定理逆定理及简单应用（3种题型）

1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

一．勾股定理的逆定理

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（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b＝c，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的

和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来

解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和

与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

二．勾股数

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勾股数：满足a+b＝c的三个正整数，称为勾股数．

说明：

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①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a+b＝c，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股

数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

三．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽

象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

①

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形

的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三

角形的斜边．

一．勾股定理的逆定理

1．（2022秋•句容市期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△

ABC是直角三角形的是（）

A．∠A﹣∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5

C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝7，b＝24，c＝25

【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是

直角三角形．

【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；

B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；

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C、∵（b+c）（b﹣c）＝a，∴b﹣c＝a，故△ABC为直角三角形；

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D、∵7+24＝25，∴△ABC为直角三角形；

故选：B．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可

利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．

2．（2022秋•阜宁县期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）

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A．a＝1，b＝2，c＝3B．a：b：c＝3：4：5

C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5

【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．

【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；

B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；

C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝9