第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法（人教版）（解析版）-八年级数学.pdfVIP

第14讲等腰三角形常用作辅助线的方法

【人教版】

·模块一作平行线

·模块二作垂线

·模块三倍长中线法

·模块四截长补短法

·模块五课后作业

【例1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到

点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）

A．0.5B．0.9C．1D．1.25

【答案】C

△△=△

【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，

1

即可得出=．

2

【详解】解：过作的平行线交于，

∴∠=∠

∵△是等边三角形，

∴∠=∠=60°∠=∠=60°

，，

∴△等边三角形，

∴=，

在△和△，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△△，

∴=

∵⊥△

于，是等边三角形，

∴=

∴+=+，

1

∴=，

2

∵=2，

∴=1，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是

解题的关键．

【例2】P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．

（1）证明：PD＝DQ．

（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．

【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出APPFAFCQ，由AAS

证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；

（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FDCD，证出

1

=

AE+CDDEAC，即可得出结果．

2

【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．

∵△ABC是等边三角形，

∴△APF也是等边三角形，APPFAFCQ．

∵PF∥BC，∴∠PFD∠DCQ．

∠=∠

在△PDF和△QDC中，∠=∠，

=

∴△PDF≌△QDC（AAS），

∴PDDQ；

（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD∠QCD，△APF是等边三角形，

∴APPFAF．

∵PE⊥AC，∴AEEF．

∵APPF，APCQ，∴PFCQ．

∠=∠

在△PFD和△QCD中，∠=∠，

=

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FDCD．

∵AEEF，∴EF+FDAE+CD，

1

=

∴AE+CDDEAC．

2

∵AC6，∴DE3．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握

等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平

行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．

△=

【变式1】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交

于点．

求让：=

【答案】见详解

【分析】过点D