专题39 空间几何体的表面积与体积-高考数学一轮复习(文理通用)（原卷版）.doc

专题39空间几何体的表面积与体积

必威体育精装版考纲

了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.

基础知识融会贯通

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.柱、锥、台、球的表面积和体积

名称

几何体

表面积

体积

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)Sh

台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

【知识拓展】

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

重点难点突破

【题型一】求空间几何体的表面积

【典型例题】

在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（）

A． B．6π C． D．

【再练一题】

如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

思维升华空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

【题型二】求空间几何体的体积

命题点1以三视图为背景的几何体的体积

【典型例题】

设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．

【再练一题】

如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．π B． C． D．

命题点2求简单几何体的体积

【典型例题】

正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（）

A．1：4 B．3：8 C．1：2 D．2：3

【再练一题】

一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）

A． B． C． D．

思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

【题型三】与球有关的切、接问题

【典型例题】

在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A．8π B． C． D．

【再练一题】

在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（）

A． B．π C． D．

思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

基础知识训练

1．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）

A． B． C． D．

2．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)】四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（）

A．3 B．2 C．1 D．

3．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（）

A． B． C． D．

4．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】阳