专题44 立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题44立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直

必威体育精装版考纲

1.理解直线的方向向量及平面的法向量．

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．

3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

基础知识融会贯通

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u.

(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1∥u2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.

(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u.

(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.

重点难点突破

【题型一】利用空间向量证明平行问题

【典型例题】

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上．

（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；

（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的侧视图的面积．

【解答】（Ⅰ）证法一：在四棱锥P﹣ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，

因为E是PD的中点，所以EFCDAB，…

所以四边形AEFB是平行四边形，…

则AE∥FB，

而AE?平面PBC，FB?平面PBC，…

∴AE∥平面PBC．…

证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

设PB＝t，则P（0，0，t），D（﹣1，2，0），C（1，2，0），A（﹣1，0，0），

所以E（，1，），，…

设平面PBC的法向量为（x，y，z），则，所以，即

取y＝﹣1，得到平面PBC的法向量为（2，﹣1，0）．

所以0，而AE?平面PBC，则AE∥平面PBC．…

（Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，

设PB＝t（t＞0），则P（0，0，t），D（﹣1，2，0），C（1，2，0），

所以（﹣1，2，﹣t），（1，2，0），

则||，||，…

由已知异面直线BC与PD成60°角，所以?，

又?1×1+2×2+（﹣t）×0＝3，

所以3，解得t，即PB，

所以侧视图的面积为S2．…

【再练一题】

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF＝1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM∥平面BDE；

（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；

（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

【解答】证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系

设AC∩BD＝N，连接NE，

则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），

∴（，

又点A、M的坐标分别是

（）、（

∴（

∴且NE与AM不共线，

∴NE∥AM

又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，

∴AM∥平面BDF

解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，

∴AB⊥平面ADF

∴为平面DAF的法向量

∵?0，

∴?（，，1）＝0得，∴NE为平面BDF的法向量

∴cos

∴的夹角是60°

即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°

（3）设P（x，x，0），，，则

cos||，解得或（舍去）

所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．

思维升华(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

【题型二】利用空间向量证明垂直问题

命题点1证线面垂直

【典型例题】

如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA＝2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．

（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；

（Ⅱ）求点B到平面DMN的