专题44 立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直-高考数学一轮复习(文理通用)（原卷版）.doc

专题44立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直

必威体育精装版考纲

1.理解直线的方向向量及平面的法向量．

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．

3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

基础知识融会贯通

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u.

(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1∥u2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.

(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u.

(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.

重点难点突破

【题型一】利用空间向量证明平行问题

【典型例题】

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上．

（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；

（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的侧视图的面积．

【再练一题】

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF＝1，M是线段EF的中点．

（1）求证AM∥平面BDE；

（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；

（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

思维升华(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

【题型二】利用空间向量证明垂直问题

命题点1证线面垂直

【典型例题】

如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA＝2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．

（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；

（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

【再练一题】

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

（1）求的值；

（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距离．

命题点2证面面垂直

【典型例题】

如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝2，．

（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；

（2）求二面角V﹣AB﹣C的大小；

（3）求点C到平面VAB的距离．

【再练一题】

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；

（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．

思维升华证明垂直问题的方法

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

【题型三】利用空间向量解决探索性问题

【典型例题】

如图，四棱锥S﹣ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD＝a（a＞0），AB＝2AD，SDAD．E为CD上一点，且CE＝3DE．

（1）求证：AE⊥平面SBD；

（2）M、N分别在线段CD、SB上的点，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由．

【再练一题】

如图，在四棱锥P﹣ABCD中