专题52 双曲线-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题52双曲线

必威体育精装版考纲

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

基础知识融会贯通

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.

(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

【知识拓展】

巧设双曲线方程

(1)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn0)．

重点难点突破

【题型一】双曲线的定义及标准方程

命题点1利用定义求轨迹方程

【典型例题】

动点P与点F1（0，5）与点F2（0，﹣5）满足|PF1|﹣|PF2|＝6，则点P的轨迹方程为．

【解答】解：由|PF1|﹣|PF2|＝6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线下支，

得c＝5，2a＝6，

∴a＝3，

∴b2＝16，

故动点P的轨迹方程是1（y≤﹣3）．

故答案为：1（y≤﹣3）．

【再练一题】

已知点F1（﹣3，0）和F2（3，0），动点P到F1、F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为（）

A． B．

C． D．

【解答】解：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，

设其方程为（x＞0）（a＞0，b＞0），

由题设知c＝3，a＝2，b2＝9﹣4＝5，

∴点P的轨迹方程为（x＞0）．

故选：B．

命题点2利用待定系数法求双曲线方程

【典型例题】

设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线C的方程为（）

A． B．

C． D．

【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）是焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y，

由其一条渐近线为，可得，

∵2b＝4，∴b＝2，则a＝4．

∴双曲线C的方程为．

故选：A．

【再练一题】

已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．

【解答】解：（1）∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，

∴双曲线焦点（±c，0）到渐近线的距离为b

又∵双曲线离心率e2

∴c＝2a，平方得c2＝a2+b2＝a2+3＝4a2，解得a＝1

因此，双曲线的方程为

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由右焦点F2（2，0）设直线l方程：y＝k（x﹣2）

由消去y，得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3＝0

根据题意知k≠±，由根与系数的关系得：x1+x2，x1x2，y1﹣y2＝k（x1﹣x2）

∴△F1AB的面积S＝c|y1﹣y2|＝2|k||x1﹣x2|＝2|k|?2|k|?6?6

两边去分母并且平方整理，得k4+8k2﹣9＝0，解之得k2＝1（舍负）

∴k＝±1，得直线l的方程为y＝±（x﹣2）

命题点3利用定义解决焦点三角形问题

【典型例题】

虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A、B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为（）

A．3 B．16 C．12 D．24

【解答】解：由于2，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2+1，∴a．

由双曲线的定义知：|AF2|﹣|AF1|＝2a①，|BF2|﹣|BF1|②，

又|AF1|+|BF1|＝|AB|＝8，①+②得：|AF2|+|BF2|﹣|AB|，

∴|AF2|+|BF2|＝8，则△ABF2的周长为16，

故选：B．

【再练一题】

已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为（）

A． B． C． D．

【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．

由余弦定理得

cos∠F1PF2，即cos60°，

解得，所以，故P到x轴的距离为

故选：B．

思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．

(3)利用待定系数法求双