专题55 范围、最值问题-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题55范围、最值问题

必威体育精装版考纲

1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．

2.了解圆锥曲线的简单应用．

3.理解数形结合的思想.

基础知识融会贯通

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有

①Δ0?直线与圆锥曲线相交；

②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切；

③Δ0?直线与圆锥曲线相离．

(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，

①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2．圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.

3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值．或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题．

【知识拓展】

过一点的直线与圆锥曲线的位置关系

(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；

过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；

过椭圆内一点的直线与椭圆相交．

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.

(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；

过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；

过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．

重点难点突破

【题型一】范围问题

【典型例题】

设抛物线M：x2＝4py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线N：的两个交点分别是A，B，若存在抛物线M使得△FAB是等边三角形，则双曲线N的离心率的取值范围是（）

A．（，+∞） B．（1，） C．（，+∞） D．（1，+∞）

【解答】解：抛物线M：x2＝4py（p＞0）的焦点为F，其准线y＝﹣p，双曲线N：的两个交点分别是A（，﹣p），B（a，﹣p），

△FAB是等边三角形，可得，可得a，

所以双曲线N的离心率：e．

双曲线N的离心率的取值范围是：（，+∞）．

故选：A．

【再练一题】

椭圆的左焦点为F，过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆交于不同两点A，B

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求|AB|的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）因为a2＝2，b2＝1，所以，

所以离心率．

（Ⅱ）法一：

设A（x1，y1），B（x2，y2），

显然直线l存在斜率，设直线l的方程为y＝k（x+2），

所以，所以（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2＝0△＝8﹣16k2＞0，所以，

所以，

因为B（x2，﹣y2），

所以，

因为，

所以，

因为，所以．

法二：

设A（x1，y1），B（x2，y2），

当直线l是x轴时，，

当直线l不是x轴时，设直线l的方程为x＝ty﹣2，

所以，所以（t2+2）y2﹣4ty+2＝0，△＝8t2﹣16＞0，所以t2＞2，

所以，

因为B（x2，﹣y2），

所以，

因为，

所以|AB|，

因为t2＞2，所以，

综上，|AB|的取值范围是．

思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)．

【题型二】最值问题

命题点1利用三角函数有界性求最值

【典型例题】

已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l的最大距离为（）

A． B． C． D．2

【解答】解：椭圆，和直线，

设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），

∴椭圆上的点P到直线l的距离：

d，其中tanγ

∴当cos（θ+γ）＝1时，椭圆上的点到直线l的距离取最大值：．

故选