专题70 直接证明与间接证明（解析版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题70直接证明与间接证明

必威体育精装版考纲

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.

2.了解反证法的思考过程和特点.

基础知识融会贯通

1．直接证明

(1)综合法

①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：eq\x(P?Q1)―→eq\x(Q1?Q2)―→eq\x(Q2?Q3)―→…―→eq\x(Qn?Q)

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．

③思维过程：由因导果．

(2)分析法

①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：eq\x(Q?P1)―→eq\x(P1?P2)―→eq\x(P2?P3)―→…―→eq\x(得到一个明显成立的条件)

(其中Q表示要证明的结论)．

③思维过程：执果索因．

2．间接证明

反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．

重点难点突破

【题型一】综合法的应用

【典型例题】

要证明“sin4θ﹣cos4θ＝2sin2θ﹣1”，过程为：“sin4θ﹣cos4θ＝（sin2θ+cos2θ）（sin2θ﹣cos2θ）＝sin2θ﹣cos2θ＝sin2θ﹣（1﹣sin2θ）＝2sin2θ﹣1”，用的证明方法是（）

A．分析法 B．反证法 C．综合法 D．间接证明法

【解答】解：从字面的过程看：“sin4θ﹣cos4θ＝（sin2θ+cos2θ）（sin2θ﹣cos2θ）＝sin2θ﹣cos2θ＝sin2θ﹣（1﹣sin2θ）＝2sin2θ﹣1”，用的证明方法是：综合法．

故选：C．

【再练一题】

证明命题：“f（x）＝ex在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：

因为f（x）＝ex，所以f′（x）＝ex，

因为x＞0，所以ex＞1，01，

所以ex0，即f′（x）＞0，

所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（）

A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是

【解答】解：题中命题的证明方法是由所给的条件，利用所学的定理、定义、公式证得要证的结论，

故此题的证明方法属于综合法，

故选：A．

思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．

【题型二】分析法的应用

【典型例题】

已知n≥0，试用分析法证明：．

【解答】证明：要证成立，需证2，

只需证，

只需证n+1，只需证（n+1）2≥n2+2n，

需证n2+2n+1≥n2+2n，只需证1≥0．

因为1≥0显然成立，所以，要证的不等式成立．

【再练一题】

已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，求证：

（Ⅰ）a＞0，c＜0；

（Ⅱ）．

【解答】证明：（1）因a＞b＞c，故0＝a+b+c＜3a，所以a＞0，

同理0＝a+b+c＞3c，

∴c＜0；

（2）要证，即证

即证b2﹣ac＜3a2即3a2﹣b2+ac＞0

又因为c＝﹣a﹣b即证3a2﹣b2+a（﹣a﹣b）＞0

即证2a2﹣ab﹣b2＞0

即证（a﹣b）（2a+b）＞0

又因为a＞b，a﹣b＞0，即证2a+b＞0，又因为a+b＝﹣c即证a﹣c＞0

即证a＞c

又由已知，a＞c，故原不等式成立

思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键．

(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

【题型三】反证法的应用

命题点1证明否定性命题

【典型例题】

证明：1，，不可能成等差数列；

【解答】证明：假设1，，成等差数列，

则有12，

即3，

明显不成立，

故1，，不可能成等差数列；

【再练一题】

证明：1，，不可能为同一等差数列中的三项．

证明：假设1，，为同一等差数列中的三项，

则有1+md，①

1+nd，②

变形可得：（1）n＝（）m，

则有，

又由m、n为正整数，则为有理数，而为无理数，

则明显不成立，

故1，，不可能为同一等差数列中的三项．

命题点2证明存在性命题

【典型例题】

设x，y都是正数，且x+y＞