直线与圆专题复习第18讲 曼哈顿距离、切比雪夫距离问题、直角距离问题 训练题集【老师版】.docx

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第18讲曼哈顿距离、切比雪夫距离问题、直角距离问题

参考答案与试题解析

一.选择题(共7小题)

1.(2021?济宁二模)“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语,例如在平面直角坐标系中,点,、,的曼哈顿距离为：.若点,点为圆上一动点,则的最大值为

A. B. C. D.

【解答】解：由题意设,,

则,

当时,即当,时,

,

,,,,

则当时,的最大值为；

当时,即当,时,

,

,,

则当时,的最大值为.

综上所述,的最大值为.

故选：.

【点评】本题考查点与圆的位置关系,考查新定义下的两点间的距离公式的应用,训练了利用三角函数求最值,是中档题.

2.(2021?万州区校级月考)在平面直角坐标系中,定义,为两点,、,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作,给出下列四个命题：

①对任意三点,,,都有,,,；

②已知点和直线,则；

③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形.

其中真命题的是

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

【解答】解：①对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,

如图,结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,

则,,,；

若,或,对调,可得,,,；

若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,如图,

由矩形或矩形,,,,；

则对任意的三点,,,都有,,,,

故①正确；

②设点是直线上一点,且,

可得,,

由,解得,即有,

当时,取得最小值；

由,解得或,即有,

的范围是,无最值；

综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为；

故②正确；

③由题,到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足,,

即或,

显然点的轨迹为正方形,故③正确；

故选：.

【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.

3.(2021?金山区校级期中)在平面直角坐标系中,定义,为两点,、,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列三个命题：

①对任意三点、、,都有,,,；

②已知点和直线,则；

③定点、,动点满足,,,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.

其中真命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

【解答】解：①对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,如图,

结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,

则,,,；

若,或,对调,可得,,,；

若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,如图,

由矩形或矩形,

,,,；

则对任意的三点,,,都有,,,；故①正确；

②设点是直线上一点,且,

可得,,

由,解得或,即有,

当时,取得最小值；

由,解得,即有,

的范围是,,无最值,

综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故②错误；

③定点、,动点,

满足,,,

可得不轴上,在线段间成立,

可得,解得,

由对称性可得也成立,即有两点满足条件；

若在第一象限内,满足,,,

即为,为射线,

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,

则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.

故③正确.

真命题的个数是2.

故选：.

【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.

4.(2021?浦东新区校级期中)在平面直角坐标系中,定义为两点,、,的“切比雪夫距离”,又设点及直线上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列三个命题：

①对任意三点、、,都有,,,；

②已知点和直线,则

③定义,动点满足,则动点的轨迹围成平面图形的面积是4.

其中真命题的个数

A.0 B.1 C.2 D.3

【解答】解：①对任意三点、、,设,、,,,,

则,,

,

则对任意的三点,,,都有,,,,故①正确；

②设点是直线上一点,且,

可得,,

当时,取得最小值2,,故②不正确；

③定义,动点满足,

可得,表示边长为的正方形(如右图),其面积为2,故③错误.

故选：.

【点评】本题考查新定义的理解和运用,数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于中档题.

5.(2021?重庆模拟)在平面直角坐标系中,定义,为两点,,,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,