专题06 函数的奇偶性与周期性-高考数学一轮复习（文理通用）（原卷版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题06函数的奇偶性与周期性

必威体育精装版考纲

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

基础知识融会贯通

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

【知识拓展】

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．

重点难点突破

【题型一】判断函数的奇偶性

【典型例题】

下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）

A．f（x）＝x|x| B．f（x）＝﹣x3

C．f（x） D．f（x）

【再练一题】

下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（）

A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣|x+1|

C． D．

思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

【题型二】函数的周期性及其应用

【典型例题】

已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（）

A．2019 B．2 C．0 D．﹣2

【再练一题】

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）

A．336 B．337 C．338 D．339

思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．

【题型三】函数性质的综合应用

命题点1求函数值或函数解析式

【典型例题】

已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则f（2018）＝（）

A． B． C． D．

【再练一题】

设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3），且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝4x，则f（107.5）＝（）

A．10 B． C．﹣10 D．

命题点2求参数问题

【典型例题】

已知函数f（x）＝lnx，且f（a）+f（a+1）＞0，则a的取值范围为（）

A．（﹣1，） B．（） C．（） D．（）

【再练一题】

已知，若f（x）＝xa为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值是（）

A．﹣1，3 B．，3 C．﹣1，，3 D．，，3

命题点3利用函数的性质解不等式

【典型例题】

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（），则a的取值范围是（）

A．（） B．（1，） C．（0，） D．（）

【再练一题】

定义在R上的函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）＝0，则f（x）＜0的解集是（）

A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）

思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．

(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

①f(x)为偶函数?f(x)＝f(|x|)．②若