专题08 指数与指数函数-高考数学一轮复习（文理通用）（原卷版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题08指数与指数函数

必威体育精装版考纲

1.了解指数函数模型的实际背景．

2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)的指数函数的图象．

4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

基础知识融会贯通

1．分数指数幂

(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)．于是，在条件a0，m，n∈N*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a0，m，n∈N*，且n1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.

2．指数函数的图象与性质

【知识拓展】

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．

重点难点突破

【题型一】指数幂的运算

【典型例题】

若0＜a＜1，b＞0，且，则ab﹣a﹣b等于（）

A． B．2或﹣2 C．﹣2 D．2

【再练一题】

设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）

A． B． C． D．

思维升华(1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

【题型二】指数函数的图象及应用

【典型例题】

函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是（）

A．y B．y＝|x﹣2| C．y＝2x﹣1 D．y＝log2（2x）

【再练一题】

函数的图象的大致形状是（）

A． B．

C． D．

思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

【题型三】指数函数的性质及应用

命题点1指数函数单调性的应用

【典型例题】

已知函数f（x）＝（）x，若a＝f（20.3），b＝f（2），c＝f（log25），则a，b，c的大小关系为（）

A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

【再练一题】

下列不等关系式正确的是（）

A． B．

C． D．

命题点2与指数函数有关的复合函数的单调性

【典型例题】

已知函数．

（1）判断f（x）的单调性；

（2）求f（x）的值域；

（3）解方程f（x）＝0；

（4）求解不等式f（x）＞0．

【再练一题】

已知函数f（x），

（1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值．

（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．

命题点3指数函数性质的综合应用

【典型例题】

对于函数f（x）＝4x﹣m?2x+1，若存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）

A．m B．m C．m≤1 D．m≥1

【再练一题】

函数的值域为（）

A． B． C．（0，] D．（0，2]

思维升华(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

基础知识训练

1．下列说法正确的是（）

A．对任意的，必有

B．若，对任意的，必有

C．若，对任意的，必有

D．若，总存在，当时，总有

2．若tanα=1+lgt，tanβ=lg，且α+β=，则实数t的值为（）

A． B．1 C．或1 D．1或10

3．函数的单调递增区间为

A． B． C． D．

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