专题23 简单的三角恒等变换-高考数学一轮复习（文理通用）（解析版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题23简单的三角恒等变换

必威体育精装版考纲

1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．

2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．

3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

重点难点突破

【题型一】三角函数式的化简

【典型例题】

化简的结果是（）

A．2cos2 B．2sin2

C．4sin2+2cos2 D．2sin2+4cos2

【解答】解：22

＝2

＝2|sin2+cos2|+2|cos2|，

∵2＜π，∴2是第二象限角，

∴cos2＜0，sin2+cos2sin（2），

∵0＜2π，∴sin2+cos2sin（2）＞0

∴原式＝2（sin2+cos2）﹣2cos2＝2sin2．

故选：B．

【再练一题】

的值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：44，

故选：D．

思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

【题型二】三角函数的求值

命题点1给角求值与给值求值

【典型例题】

已知α∈（0，π），且cosα，则sin（α）?tan（π+α）＝（）

A． B． C． D．

【解答】解：sin（α）?tan（π+α）＝cosαtanα＝sinα，

∵α∈（0，π），且cosα，

∴sinα，

故选：D．

【再练一题】

若，且，，则sin（α+β）＝（）

A． B． C． D．

【解答】解：，且，，

则cosα

sinβ，

sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．

故选：B．

命题点2给值求角

【典型例题】

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，BC边上中线AM的长为．

（Ⅰ）求角A和角B的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由，

∴，．

由，得即sinB＝1+cosC

则cosC＜0，即C为钝角，故B为锐角，且

则故．

（Ⅱ）设AC＝x，由余弦定理得

解得x＝2故．

【再练一题】

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量（sinA，），（3，sinAcosA），且∥，

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围．

【解答】解：（1）由向量（sinA，），（3，sinAcosA），且∥，

，即有sin2AsinAcosA，

即，

∴，

∵，

∴，

∴，∴；

（2），

?B

．

思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．

(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．

【题型三】三角恒等变换的应用

【典型例题】

若函数f（x）＝2sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx在区间[]上单调递增，则正数ω的最大值为（）

A． B． C． D．

【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωxsin2ωx+1﹣cos2ωx+cos2ωxsin2ωx+1，

∵在区间[]上单调递增，则，即T≥6π，

即6π，得0＜ω，

即ω的最大值为，

故选：B．

【再练一题】

已知函数f（x）＝sin4x+cos4x，则f（x）的值域为（）

A． B． C． D．

【解答】解：f（x）＝sin4x+cos4x＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x

＝1﹣2（sin2x）2＝1sin22x，

∵0≤sin22x≤1，∴0sin22x

∴sin22x≤0，

即1sin22x≤1．

即f（x）≤1，即函数的值域为[，1]，

故选：A．

思维升华三角恒等变换的应用策略

(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．

(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．

基础知识训练

1．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】函数的最小正周期为()

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】

，最小正周期，故选B.

2．【天津市南开区2018～2019学年度高三第二学期基础训练】已知，若对，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是（）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，其中，

由题意可知：，即：，

则函数的值域为的子集，

设函数的最小正周期为在区间上的值域为，则：，

即：，解得.

结合选项可知实数的取值不可能是.

故选：D.