专题57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（解析版）.doc

专题57分类加法计数原理与分步乘法计数原理

必威体育精装版考纲

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”.

2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.

基础知识融会贯通

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

重点难点突破

【题型一】分类加法计数原理的应用

【典型例题】

设x1，x2，x3，x4∈{﹣1，0，2}，那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数对（x1，x2，x3，x4）的组数为

【解答】解：①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝2，0+0+0+2＝2，有4种，1+0+1+0＝2，有6种，故有10组；

②：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝3，0+1+1+1＝3，有4种，0+1+2+0＝3，有C41C31＝12种，故有16组；

③：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝4，1+1+1+1＝4，有1种，0+1+1+2＝4，有C41C31＝12种，0+0+2+2＝4，有C41C31＝6种，故有19组；

综上，共45组，

故答案为：45．

【再练一题】

今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种

A．204 B．288 C．348 D．396

【解答】解：①若6人乘坐3辆缆车，则将4个大人分成2，1，1三组有6种方法，然后将三组排到三个缆车有6种方法，再将两个小孩排到三个缆车有3×3﹣1＝8种方法，所以共有6×6×8＝288种方法．

②若6人乘坐2辆缆车，

（1）两个小孩不在一块：则大人分成2，2两组的方法有3种方法，将两组排到两辆缆车有6种方法，再将两个小孩排到两辆缆车有2种方法，

故共有3×6×2＝36种方法．

（2）两个小孩在一块：则大人分成3，1两组，分组方法为4种方法，小孩加入1人的组有1种方法，再将两组从3辆缆车中选两辆排入有6种方法，故共有4×1×6＝24种方法．

综上共有：288+36+24＝348种方法．

故选：C．

思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．

【题型二】分步乘法计数原理的应用

【典型例题】

乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有项．

【解答】解：根据多项式的乘法法则，（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的结果中每一项都必须是在（a1+a2+a3）、（b1+b2+b3+b4）、（c1+c2+c3+c4+c5）三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，

而在（a1+a2+a3）中有3种取法，在（b1+b2+b3+b4）中有4种取法，在（c1+c2+c3+c4+c5）中有5种取法，

由乘法原理，可得共有3×4×5＝60种情况，

则（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的展开式中有60项；

故答案为60．

【再练一题】

某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（）

A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96

C．9×106 D．81×105

【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，

同理升为七位时为9×106．

∴可增加的电话部数是9×106﹣9×105＝81×105．

故选：D．

思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

【题型三】两个计数原理的综合应用

命题点1与数