专题69 合情推理与演绎推理（解析版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题69合情推理与演绎推理

必威体育精装版考纲

1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

基础知识融会贯通

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．

②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

②特点：由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

重点难点突破

【题型一】归纳推理

命题点1与数字有关的等式的推理

【典型例题】

《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，则按照以上规律，若10具有“穿墙术”，则n＝（）

A．48 B．63 C．99 D．120

【解答】解：根据题意，

2，则有2，

3，则有3，

4，则有4，

5，则有5，

若10，则有n＝102﹣1＝99；

故选：C．

【再练一题】

观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72020的末两位数字为（）

A．01 B．43 C．07 D．49

【解答】解：72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，

即7n的末两位数分别为49，43，01，07，具备周期性，周期为4，

2020＝504×4+4，

则72020的末两位数为与74的末两位数相同，即01，

故选：A．

命题点2与不等式有关的推理

【典型例题】

已知，经计算f（4）＞2，，f（16）＞3，，则根据以上式子得到第n个式子为．

【解答】解：观察已知中等式：

f（4）＝f（22）＞2，

f（8）＝f（23），

f（16）＝f（24）＞3，

f（32）＝f（25），…，

则f（2n+1）（n∈N*）

故答案为：f（2n+1）（n∈N*）

【再练一题】

已知x＞1，观察下列不等式：

x2；

x23；

x34；

…

按此规律，第n个不等式为．

【解答】解：由x2；

x23；

x34；

…

按此规律，第n个不等式为：xnn+1，

故答案为：xnn+1

命题点3与数列有关的推理

【典型例题】

把数列{an}的各项按照如图规律排成三角形数阵；若an＝2n﹣1，n∈N*，则该数阵的第20行所有项的和为．

【解答】解：由该数阵的规律可得：第1行的最后一项的项数为1＝12，

第2行的最后一项的项数为4＝22，第3行的最后一项的项数为9＝32则第n行的最后一项的项数为n2，

则该数阵的第20行最后一项的项为﹣a，第一项为：﹣a

由已知有：第20行共20×2﹣1＝39项，

则从左到右按相邻两项分组，每一组的和为2，

则该数阵的第20行所有项的和S＝2×19﹣a38﹣（2×202﹣1）＝﹣761，

故答案为：﹣761．

【再练一题】

如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y＝±x等分成八个区域（不含边界），已知数列{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，对任意的正整数n，均有an（2Sn﹣an）＝1，当an＞0时，点Pn（an，an+1）（）

A．只能在区域②

B．只能在区域②和④

C．在区域①②③④均会出现

D．当n为奇数时，点Pn在区域②或④，当n为偶数时，点Pn在区域①或③

【解答】解：任意的正整数n，均有an（2Sn﹣an）＝1，

则Sn（an），

∴Sn+1（an+1），

∴an+1（an+1﹣an），

即an+1﹣an，

∵an＞0，

∴an+10，

解得an+1＜﹣1或0＜an+1＜1，

故点Pn（an，an+1）只能在区域②和④

故选：B．

命题点4与图形变化有关的推理

【典型例题】

如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三