专题70 直接证明与间接证明（原卷版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题70直接证明与间接证明

必威体育精装版考纲

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.

2.了解反证法的思考过程和特点.

基础知识融会贯通

1．直接证明

(1)综合法

①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：eq\x(P?Q1)―→eq\x(Q1?Q2)―→eq\x(Q2?Q3)―→…―→eq\x(Qn?Q)

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．

③思维过程：由因导果．

(2)分析法

①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：eq\x(Q?P1)―→eq\x(P1?P2)―→eq\x(P2?P3)―→…―→eq\x(得到一个明显成立的条件)

(其中Q表示要证明的结论)．

③思维过程：执果索因．

2．间接证明

反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．

重点难点突破

【题型一】综合法的应用

【典型例题】

要证明“sin4θ﹣cos4θ＝2sin2θ﹣1”，过程为：“sin4θ﹣cos4θ＝（sin2θ+cos2θ）（sin2θ﹣cos2θ）＝sin2θ﹣cos2θ＝sin2θ﹣（1﹣sin2θ）＝2sin2θ﹣1”，用的证明方法是（）

A．分析法 B．反证法 C．综合法 D．间接证明法

【再练一题】

证明命题：“f（x）＝ex在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：

因为f（x）＝ex，所以f′（x）＝ex，

因为x＞0，所以ex＞1，01，

所以ex0，即f′（x）＞0，

所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（）

A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是

思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．

【题型二】分析法的应用

【典型例题】

已知n≥0，试用分析法证明：．

【再练一题】

已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，求证：

（Ⅰ）a＞0，c＜0；

（Ⅱ）．

思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键．

(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

【题型三】反证法的应用

命题点1证明否定性命题

【典型例题】

证明：1，，不可能成等差数列；

【再练一题】

证明：1，，不可能为同一等差数列中的三项．

命题点2证明存在性命题

【典型例题】

设x，y都是正数，且x+y＞2．证明：2和2中至少有一个成立．

【再练一题】

（1）解不等式|2x+1|+|x﹣2|≥5

（2）已知x∈R，a＝x2﹣1，b＝2x+2．求证a，b中至少有一个是非负数．

命题点3证明唯一性命题

【典型例题】

用反证法证明命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反设是（）

A．自然数a，b，c中至少有两个偶数

B．自然数a，b，c都是奇数

C．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

D．自然数a，b，c都是偶数

思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：

第一步：分清命题“p?q”的条件和结论；

第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；

第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p?q为真．

所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．

基础知识训练

1．要证明，可选择的较合适的方法是（）

A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．比较法

2．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）

A．①综合法，②反证法 B．①分析法，②反证法

C．①综合法，②分析法 D．①分析法，②综合法

3．用反证法证明命题“设，，为实数，满足，则，，至少有一个数不小