专题71 数学归纳法（原卷版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题71数学归纳法

必威体育精装版考纲

1.了解数学归纳法的原理.

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

基础知识融会贯通

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

重点难点突破

【题型一】用数学归纳法证明等式

【典型例题】

已知数列{an}前n项的和为Sn，且满足．

（Ⅰ）求s1、s2、s3的值；

（Ⅱ）用数学归纳法证明．

【再练一题】

用数学归纳法证明：1时，由n＝k到n＝k+1左边需要添加的项是．

思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值n0的取值并验证当n＝n0时等式成立．

(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．

【题型二】用数学归纳法证明不等式

【典型例题】

用数学归纳法证明：??．

【再练一题】

用数学归纳法证明不等式1n（n∈N*）过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左端增加的项数是（）

A．1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1

思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键

(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．

【题型三】归纳—猜想—证明

命题点1与函数有关的证明问题

【典型例题】

已知y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy．

（1）求f（0）的值；

（2）若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；

（3）若．

【再练一题】

已知f（n）＝1，g（n）（3），n∈N*．

（1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；

（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并用数学归纳法证明．

命题点2与数列有关的证明问题

【典型例题】

已知a1（n∈N*）

（1）求a2，a3，a4并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想．

【再练一题】

已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1．

（Ⅰ）求a2，a3，a4，a5；

（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．

命题点3存在性问题的证明

【典型例题】

是否存在a，b，c使等式（）2+（）2+（）2+…+（）2对一切n∈N*都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．

【再练一题】

已知数列{an}的通项公式为an，它的前n项和为Sn

（Ⅰ）求S1，S2，S3的值；

（Ⅱ）是否存在实数a，b，c使得Sn对一切n∈N*都成立？若存在，求出a，b，c的值，并用数学归纳法证明，若不存在，说明利用．

思维升华(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．

(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．

基础知识训练

1．用数学归纳法证明命题“”时,在作归纳假设后,需要证明当时命题成立,即需证明()

A．

B．

C．

D．

2．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（）

A． B．

C． D．

3．在用数学归纳法证明等式时，当时的左边等于（）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（）

A． B．

C． D．

5．用数学归纳法证明等式：,由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是()

A． B．

C． D．

6．利用数学归纳法证明“”的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（）

A． B． C． D．

7．用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于（）

A． B． C． D．

8．用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是（）

A． B． C． D．

9．现有命题“，”，不知真假。请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为（）

A．不能用数学归纳法去判断真假 B．一定为真命题

C．加上条件后才是真命题，否则为假 D．存在一个很大常