精品解析：山东省济南第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）.docxVIP

2024-2025学年山东省济南三中高一（上）

期中数学试卷

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用集合并集概念与运算求解即得.

【详解】集合，，

所以.

故选：B

2.已知，则实数a的值为（）

A.3 B.5 C.3或5 D.无解

【答案】B

【解析】

【分析】根据元素与集合关系分类讨论，并验证集合的互异性，即可求解.

【详解】因为，当时，，不符合集合的互异性，故舍去；

当时，，集合为，符合集合互异性，故.

故选：B

3.不等式的解集为（）

A. B.或

C. D.或

【答案】C

【解析】

【分析】由分式不等式的求解方法计算即可.

【详解】原不等式可化为，即，解得.

故选：C.

4.已知函数的定义域为，则的定义域为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可.

【详解】的定义域为，

，解得：，

的定义域为.

故选：B.

5.已知，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用换元法可得答案.

【详解】令，则，

所以，

即.

故选：B.

6设，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.

【详解】在上单调递增，在上单调递减，．

故选：A．

7.已知函数图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（）

A.4 B.1 C.2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】由得，又，所以定点为，

从而，

，当且仅当时等号成立，

故选：C

8.已知不等式恒成立，则的最小值是（）

A. B.4 C. D.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式恒成立，则需要，，即，利用基本不等式即可判断选项.

【详解】根据不等式恒成立，

当，不符合条件。

则，，即，

①

②，

①当且仅当，即，等号成立.

②当且仅当时等号成立.

两次基本不等式都在成立，故等号能够传递.

故选：D

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

二、多选题（每小题6分，共18分）

9.对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）

A.若，，则

B.若，则

C.若，则

D.若，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】

（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.

【详解】A选项：，，但是，A不正确；

B选项：因成立，则，那么，B正确；

C选项：，但是，C不正确；

D选项：因为，则，又，所以，D正确.

故选：BD

【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.

10.已知，且，则下列结论正确的是（）

A.的最大值为 B.的最大值为4

C.的最小值为 D.的最小值为0

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解.

【详解】对于A，因为，，且，所以，

当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确；

对于B，，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9，显然其最大值不可能为4，故B错误；

对于C，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为，故C正确；

对于D，由，，且，可知，，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最小值为0，故D正确.

故选：ACD.

11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（）

A.函数满足：

B.函数的值域是

C.对于任意的，都有

D.在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解.

【详解】由于，

对于选项A，设任意，则；

设任意，则，总之