专题09 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（原卷版）.pdfVIP

专题09圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模

型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值

相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，

这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆

的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以

与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。

模型1.米勒最大张角（视角）模型

【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，

∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC

的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

M

M

C

C

ONON

ABAB

【模型证明】

如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易

证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

M

C

CD

ON

AB

’’’

在三角形AC’D中，ADB=ACD+DACADBACD

’

又ACB=ADBACBACD

【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒

问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解

题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

12023··AB

例．（浙江金华统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小时，

ABCDECD

张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点，，，，均在格点上，球员带球沿方向进攻，最

好的射点在（）

ACBDECDE()DCD()

．点．点或点．线段异于端点上一点．线段异于端点上一点

22023··y

例．（广东广州校考二模）如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴（坐标原点除外）上两点

A(0,3)B(0,7)Cx