专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型（解析版）.pdfVIP

专题09圆中的最值模型之阿氏圆模型

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归

等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问

题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早

由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型解读】如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，

连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变

为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

12022··Rt△ABC∠ACB90°CB7AC9C3

例．（安徽九年级期末）如图，在中，＝，＝，＝，以为圆心、为半

1

⊙CP⊙CAPBPAPBP

径作，为上一动点，连接、，则＋的最小值为（）

3

A．7B．52C．4+10D．213

【答案】B

CACMCM1PMPCBM

【详解】思路引领：如图，在上截取，使得＝，连接，，．利用相似三角形的性质

11

MP=PAAP+BPPM+PB≥BMBM

证明，可得＝，利用勾股定理求出即可解决问题．

33

CACMCM1PMPCBM

答案详解：如图，在上截取，使得＝，连接，，．

PCCM

∵PC3CM1CA9∴PC2CM•CA∴=

＝，＝，＝，＝，，

CACP

PMPC1

PCMACPPCMACP==

∵∠＝∠，∴△∽△，∴，

PAAC3

11

∴PM=PA∴AP+BPPM+PB

，＝，

33

∵PM+PB≥BM，在Rt