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第08讲二次函数定义、图像与性质(7大考点)
考点考向
考点考向
一.二次函数的定义
(1)二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.
判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
(2)二次函数的取值范围:一般情况下,二次函数中自变量的取值范围是全体实数,对实际问题,自变量的取值范围还需使实际问题有意义.
二.二次函数的图象
(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法:
①列表:先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表.
②描点:在平面直角坐标系中描出表中的各点.
③连线:用平滑的曲线按顺序连接各点.
④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时,要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接起来.画抛物线y=ax2(a≠0)的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧.
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.
三.二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:
①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.
②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.
③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.
四.二次函数图象与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小.
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧.(简称:左同右异)
③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).
④抛物线与x轴交点个数.
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
五.二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,顶点坐标是(﹣,).
①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称,所以抛物线上的点关于对称轴对称,且都满足函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值.
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,设两个交点分别是(x1,0),(x2,0),则其对称轴为x=.
六.二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
七.二次函数的最值
(1)当a>0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=时,y=.
(2)当a<0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少,因为图象有最高点,所以函数有最大值,当x=时,y=.
(3)确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值.
考点精讲
考点精讲
一.二次函数的定义(共5小题)
1.(2021秋?淮阴区期末)函数y=x2m﹣1+x﹣3是二次函数,则m=.
2.(2022秋?启东市校级月考)函数是关于x的二次函数,求m的值.
3.(2022秋?启东市校级月考)下列函数中,一定是二次函数
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