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中值定理在中学的应用

数学与应用数学专业

[1]拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：

（i）f在闭区间[a,b]上连续；

（ii）f在开区间(a,b)内可导；



fbfa







a,bf

则在内至少存在一点，使得.

ba



fxfx

一、证明a或a成立（其中x0）

xx

[2]

例：（2007年高考全国卷I第20题）

xx

设函数fxee.



（Ⅰ）证明：fx的导数fx2；



x0fxaxa(,2]

（Ⅱ）证明：若对所有，都有，则的取值范围是.

（Ⅰ）略.



x0afxax

（Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有

xx

ee

(ii)当x0时，问题即转化为a对所有x0恒成立.

x



xxfxf0

ee





令Gx，由拉格朗日中值定理知0,x内至少存在一点（从

xx0



fxf0













而0），使得f，即Gxfee，由于

x0

