2024年圆的认识 知识点归纳.doc

圆的认识

圆的定义：

圆是一种几何图形。當一条线段绕著它的一种端點在平面内旋转一周時，它的另一种端點的轨迹叫做圆。

在一种個平面内，线段OA绕它固定的一种端點O旋转一周，另一种端點A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端點O叫做圆心，线段OA叫做半径。

有关定义:

1在同一平面内，到定點的距离等于定長的點的集合叫做圆。這個定點叫做圆的圆心。图形一周的長度，就是圆的周長。

2连接圆心和圆上的任意一點的线段叫做半径，字母表达為r。

3通過圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表达為d。直径所在的直线是圆的對称轴。

4连接圆上任意两點的线段叫做弦。最長的弦是直径,直径是過圆心的弦。

5圆上任意两點间的部分叫做圆弧，简称弧。不小于半圆的弧称為优弧，优弧是用三個字母表达。不不小于半圆的弧称為劣弧，劣弧用两個字母表达。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是不小于180度的弧，劣弧是不不小于180度的弧。

6由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

7由弦和它所對的一段弧围成的图形叫做弓形。

8顶點在圆心上的角叫做圆心角。

9顶點在圆周上，且它的两边分别与圆有另一种交點的角叫做圆周角。

10圆周長度与圆的直径長度的比值叫做圆周率。它是一种無限不循环小数，一般用π表达，π=3…在实际应用中，一般取π≈3.14。

11圆周角等于相似弧所對的圆心角的二分之一。

12圆是一种正n边形（n為無限大的正整数），边長無限靠近0但不等于0。

圆的集合定义：

圆是平面内到定點的距离等于定長的點的集合，其中定點是圆心，定長是半径。

圆的字母表达：

以點O為圆心的圆记作“⊙O”，讀作O”。

圆—⊙；

半径—r或R（在环形圆中外环半径表达的字母）；

弧—⌒；

直径—d；

扇形弧長—L；????????????????????????????

周長—C；??????????????????????????????

面积—S。

圆的性质:

（1）圆是轴對称图形，其對称轴是任意一条通過圆心的直线。

圆也是中心對称图形，其對称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分這条弦，并且平分弦所對的2条弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所對的2条弧。

（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理

①在同圆或等圆中，假如两個圆心角，两個圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他們所對应的其他各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所對的圆周角等于它所對的圆心角的二分之一（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

直径所對的圆周角是直角。90度的圆周角所對的弦是直径。

圆心角计算公式：θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所對的弧的度数；圆周角的度数等于它所對的弧的度数的二分之一。

③假如一条弧的長是另一条弧的2倍，那么其所對的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一种三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交點，到三角形三個顶點距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交點，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周長）。

④两相切圆的连心线過切點。（连心线：两個圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中點M，過點M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M為XY之中點。

（4）假如两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的二分之一。

（6）圆内角的度数等于這個角所對的弧的度数之和的二分之一。

（7）圆外角的度数等于這個角所截两段弧的度数之差的二分之一。

（8）周長相等，圆面积比長方形、正方形、三角形的面积大。

點、线、圆与圆的位置关系：

點和圆位置关系

①P在圆O外，则POr。

②P在圆O上，则PO=r。

③P在圆O内，则0≤POr。

反過来也是如此。

直线和圆位置关系

①直线和圆無公共點，称相离。AB与圆O相离，dr。

②直线和圆有两個公共點，称相交，這条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，dr。

③直线和圆有且只有一公共點，称相切，這条直线叫做圆的切线，這個唯一的公共點叫做切點。AB与⊙O相切，d=r。（d為圆心到直线的距离）

圆和圆位置关系

①無公共點，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

②有唯一公共點的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

③有两個公共點的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

设两圆的半径分别為R和r，且R〉r，圆心距為P，则結论：外离PR+r；外切P=R+r；内含PR-r；

内切P=R-r；相交R-rPR+r。

圆的计算公式: