网络流算法完整版本.pptVIP

用预流推进方法的一些网络流算法预流推进的算法核心思想是以边为单元进行推流操作：一般的预流推进算法：在剩余图中，维护一个预流，不断对活跃点执行push操作，或者relable操作来重新调整这个预流，直到不能操作。O(nm2)先进先出预流推进算法：在剩余图中，以先进先出队列维护活跃点。O(n3)最高标号预流推进算法HLLP：在剩余图中，每次检查最高标号的活跃点，需要用到优先队列。O(n2m1/2)费用流流最重要的应用是尽可能多的分流物资，这也就是我们已经研究过的最大流问题。然而实际生活中，最大配置方案肯定不止一种，一旦有了选择的余地，费用的因素就自然参与到决策中来。右图是一个最简单的例子：弧上标的两个数字第一个是容量，第二个是费用。这里的费用是单位流量的花费，譬如fs1=4，所需花费为3*4=12。容易看出，此图的最大流（流量是8）为：fs1=f1t=5,fs2=f2t=3。所以它的费用是：3*5+4*5+7*3+2*3=62。(6,3)(5,4)(3,7)(8,2)STV1V2费用流问题费用流定义设有带费用的网络流图G=(V,E,C,W)，每条弧Vi,Vj对应两个非负整数Cij、Wij，表示该弧的容量和费用。若流f满足：流量V(f)最大。满足a的前提下，流的费用Cost(f)=∑i,j∈E(fij*Wij)最小。 就称f是网络流图G的最小费用最大流。最小费用可改进路 设P是流f的可改进路，定义∑vi,vj∈P+Wij-∑vi,vj∈P-Wij为P的费用(为什么如此定义？) 如果P是关于f的可改进路中费用最小的，就称P是f的最小费用可改进路。费用流算法求最小费用最大流的基本思想是贪心法。即：对于流f，每次选择最小费用可改进路进行改进，直到不存在可改进路为止。这样的得到的最大流必然是费用最小的。算法可描述为：第1步.令f为零流。第2步.若无最小费用可改进路，转第5步；否则找到最小费用可改进路，设为P。第3步.根据P求delta（改进量）。第4步.放大f。转第2步。第5步.算法结束。此时的f即最小费用最大流。如何求最小费用可改进路设带费用的网络流图G=(V,E,C,W)，它的一个可行流是f。我们构造带权有向图B=(V’,E’)，其中：V’=V。若Vi,Vj∈E，fijCij，那么Vi,Vj∈E’，权为Wij。

若Vi,Vj∈E，fij0，那么Vj,Vi∈E’，权为-Wij。显然，B中从S到T的每一条道路都对应关于f的一条可改进路；反之，关于f的每条可改进路也能对应B中从S到T的一条路径。即两者存在一一映射的逻辑关系。故若B中不存在从S到T的路径，则f必然没有可改进路；不然，B中从S到T的最短路径即为f的最小费用可改进路。现在的问题变成：给定带权有向图B=(V’,E’)，求从S到T的一条最短路径。迭代法求最短路经考虑到图中存在权值为负数的弧，不能采用Dijkstra算法；Floyd算法的效率又不尽如人意——所以，这里采用一种折衷的算法：迭代法（SPFA算法）。设Short[i]表示从S到i顶点的最短路径长度；从S到顶点i的最短路径中，顶点i的前趋记为Last[i]。那么迭代算法描述如下：（为了便于描述，令n=|V’|，S的编号为0，T的编号为n+1）step1.令Short[i]?+∞（1≤i≤n+1），Short[0]?0。step2.遍历每一条弧Vi,Vj。若Short[i]+i,jShort[j]，则令Short[j]?Short[i]+i,j，同时Last[j]?i。重复做step2直到不存在任何任何弧满足此条件为止。step3.算法结束。若Short[n+1]=+∞，则不存在从S到T的路径；否则可以根据Last记录的有关信息得到最短路径。一次迭代算法的时间复杂度为O(kn2)，其中k是一个不大于n的变量。在费用流的求解过程中，k大部分情况下都远小于n。procedurecostflow;{求最小费用最大流}vari,j,x,delta:integer;best,last:tline;{best：最短路长度；last：可改进路中的前趋顶点}more:boolean;beginrepeatfillword(best,sizeof(best)shr1,maxint);fillchar(last,sizeof(last),0);last[1]:=maxint;best[1]