对勾函数研究学习论文.pdfVIP

浅谈形如y=ax+b/x函数的性质及其应用

摘要：探讨函数y=ax+b/x（主要是在a·b＞0的情况下）的函数一般性质和特性，调查出函

数的简单应用。通过小组合作、网络调查、文献研究等多种手段。得出结论，对号函数是特

殊的双曲线，也具有焦点、渐近线、离心率等。

关键字：特殊双曲线、函数性质应用

一，课题背景

关于函数y=ax+b/x的性质及在数学中和现实生活中的应用等问题的探讨。

二，课题目的

此次研究性学习主要是要通过小组合作的方式，自主探究出函数y=ax+b/x

（主要是在a·b＞0的情况下）的函数一般性质和特性，调查出函数的简单应用。

重点研究在关于函数y=ax+b/x性质的探究，然后利用互联网等多媒体手段，了

解y=ax+b/x函数在日常生活中解决的问题。

这次团队合作方式的研究性学习，旨在增强各成员间的合作能力和表达沟通

能力；同时，也将培养我们对于数学问题的理解、解决能力，提升我们的逻辑抽

象思维能力。

三，课题研究方法

此次研究性学习主要是通过小组合作的方式，自主探究出函数y=ax+b/x（主

要是在a·b＞0的情况下）的函数一般性质和特性，调查出函数的简单应用。重

点研究在关于函数y=ax+b/x性质的探究，然后利用互联网等多媒体手段，了解

y=ax+b/x函数在日常生活中解决的问题。

:

四，课题研究过程

参照平时老师教学过程中关于函数的探究思路，我们决定先对a,b进行讨论。

当a=0,b=0时函数y=ax+b/x即为X轴

当a=0,b≠0时函数y=ax+b/x为双曲线

当a≠0，b=0时函数y=ax+b/x即为直线

当a≠0，b≠0时函数y=ax+b/x是以y=ax和y轴为渐近线的双曲线

用几何做图方法画出函数y=x+1/x和y=x+3/x的图像。从函数图像上，观察得到

函数的单调性、对称性，以及函数大致的值域和定义域。为了获取函数精确的值

域和定义域，我们使用了基本不等式的相关知识。

以y=x+1/x为例，其单调性为：[-1,0）和（0,1]区间上，函数是递减的；在（-

∞，-1）和（1，+∞）区间上，函数是递减的

对称性：该函数图像是以原点为对称中性的中心对称图形。

值域：（-∞，-2]∪[2，+∞]

定义域：（-∞，0）∪（0,+∞）。

在掌握函数在特殊取值情况下的一般性质之后，我们从互联网上有哪些信誉好的足球投注网站到关于函数

y=ax+b/x的相关内容。我们了解到y=ax+b/x这样的函数叫对号函数，别名耐克

函数，图像为：

五，课题研究结果

y=ax+b/x性质的总结。（主要为a＞0，b＞0时的性质）

定义域（-∞，0）∪（0，+∞）

值域（-∞，-2「ab]∪[2「ab，+∞）

对称性关于原点O对称

单调性：①（0，「b/a」∪（-「b/a，0），函数

是递减的

②（-∞，-「b/a）∪（+「b/a，+∞），

函数递增的

最值①x＜0，当x=-「b/a时，ymax=-2「ab

②x＞0，当x=「b/a,ymin=2「ab

特殊性质：函数图像无限接近于直线x=0和y=ax

从特殊性推广到一般性。我们参照从网上得到的信息总结了以下表格中的部

分性质。

特殊性质：

①对号函数是双曲线旋转得到的。同双线一样也有渐近线，顶点等。

（以y=x+1/x为例：其方程为rsinα＝rcosα+1/rcosα,逆时针旋转22.5