数理方程练习题.docVIP

第二章定解问题与偏微分方程理论

习题2.1

1.密度为ρ均匀柔软的细弦线=0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。

2.长为L，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。

3.长为、密度为ρ的底半径为的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥的顶点固定在=0处。导出此杆的振动方程。

4.一根长为、截面面积为1的均匀细杆，其=0端固定，以槌水平击其=端，使之获得冲量。试写出定解问题。

习题2.2

1.一半径为r，密度为，比热为c，热传导系数为k的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为u1的介质发生热交换，且热交换的系数为k1。试导出杆上温度u满足的方程。

4.设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为，两端满足下列边界条件之一：

（1）一端（x=0）绝热，另一端（x=L）保持常温u0；

（2）两端分别有热流密度q1和q2进入；

（3）一端（x=0）温度为u1(t)，另一端（x=L）与温度为的介质有热交换。

试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。

习题2.4

1.判断下列方程的类型：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

2.求下列方程的通解

（1）；

（3）。

第三章分离变量法

习题3.1

2.求解下列定解问题

（1）

3.求下列边值问题的固有值和固有函数：

（1）（3）

习题3.2

1.求定解问题：

习题3.5

2.求解定解问题：

是常数。

3.求解定解问题：

习题3.6

2.求解定解问题：

其中，和为常数。

5.求解定解问题：

第四章行波法

习题4.1

1.求下列波动方程柯西问题的解：

(1)

(2)

6.求下列强迫振动的柯西问题的解

（1）；（2）

习题4.2

1.求解半无界弦定解问题：

5.求解下列定解问题：

[提示：作代换。]

第五章积分变换

习题5.1

1．若，求证：。

3．求函数的付里叶变换

（1）；（2）；（3）

第六章格林函数法

1．求区域上的格林函数

（1）求上半圆域的格林函数；

（2）求上半球域的格林函数。

2．求解圆域上的Dirichlet问题

（1）；（2）。

第七章

1．设有静电场的圆柱域的上下底（半径为）接地，侧面电位为u0。求域内电位分布。

即问题的定解问题为：

对定解问题分离变量求出贝塞尔方程的特解。

2．证明：。

3．证明：，其中n=1，2，3，…