第三章 三角恒等变换单元测试（基础版）（解析版）.doc

第三章三角横等变换单元测试（基础版）

一、单项选择题

1．已知，，是锐角，则=（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为是锐角，，所以

cos，cos（α﹣β）.

∴

∵β为锐角∴β，故选：C．

2．已知函数，要得到的图象，只需将的图象（）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【解析】由已知，

则，，

故将的图象的图象向右平移个单位长度可得到的图象.故选：B.

3．已知函数为偶函数，且在上是增函数，则的一个可能值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，

，若为偶函数，则有，即，

所以可以排除、，

对于，当时，，在，上是减函数，不符合题意，

对于，当时，，在，上是增函数，符合题意，

故选：．

4．函数的最小正周期是（）

A． B．π C． D．2π

【答案】B

【解析】由题意得，故该函数的最小正周期

．故选B．

5．函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】D

【解析】由图象可知，，，所以，

所以函数的单调递减区间为，

，即，．

6．为了得到函数的图象，可以将函数的图像（）

A．向右平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向左平移个单位

【答案】A

【解析】因为，所以将函

数的图象向右平移个单位后，可得到的图象，故选A．

7．已知，那么（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，选C.

8.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】：由，得.

因为，所以.由，得.故选B.

9．若，，，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

而，，因此，，

则．

10．若，是第三象限的角，则()

A． B． C．2 D．-2

【答案】A

【解析】∵，且是第三象限，∴，

∴

11.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且

，则的单调递增区间是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】因为当时，恒成立，所以，

可得或，，

因为

故，所以，所以，

由（），得（），

12．设函数，则（）

A．在单调递增，其图象关于直线对称

B．在单调递增，其图象关于直线对称

C．在单调递减，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【答案】D

【解析】∵=，

所以在单调递减，对称轴为，即．

二、填空题

13．函数在的递减区间是__________

【答案】

【解析】，

由得，，

时，．即所求减区间为．

故答案为：．

14．设，向量，若，则_______．

【答案】

【解析】∵，∴，∴，∵，∴．

15．(2018全国卷Ⅱ)已知，，则___．

【答案】

【解析】∵，，∴①，

②，①②两式相加可得

，∴．

16.已知，则的值是_________.

【答案】

【解析】由，得，

所以，解得或．

当时，，，

.

当时，，，

所以.

综上，的值是．

三、解答题

17．已知函数满足.

（1）求实数、的值以及函数的最小正周期；

（2）记，若函数是偶函数，求实数的值.

【答案】（1），，；（2），.

【解析】（1）由得，，解得，

将代入可得，，

所以，则函数的最小正周期为；

（2）由（1）得，所以，

函数是偶函数，则对于任意的实数x，均有成立，

则，整理得，

上式对于任意的实数x均成立，只有，解得，

所以.

18．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，.

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；

（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？

【解析】（Ⅰ）因为，

又，所以，，

当时，；当时，；

于是在上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为

（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.由（Ⅰ）得，

所以，即，

又，因此，即，故在10时至18时实验室需要降温.

19．已知向量，，．

（1）若，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

【解析】（1）因为，，，所以．

若，则，与矛盾，故．于是．

又，所以．

（2）.

因为，所以，从而.

于是，当，即时，取到最大值3；

当，即时，取到最小值.

20．设函数，其中．已知