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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)
专题09对数与对数函数
必威体育精装版考纲
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,eq\f(1,2),eq\f(1,3)的对数函数的图象.
3.体会对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数.
基础知识融会贯通
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中__a__叫做对数的底数,__N__叫做真数.
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a0,且a≠1,M0,N0,那么:
①loga(MN)=logaM+logaN;
②logaeq\f(M,N)=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(2)对数的性质
①=__N__;②logaaN=__N__(a0,且a≠1).
(3)对数的换底公式
logab=eq\f(logcb,logca)(a0,且a≠1;c0,且c≠1;b0).
3.对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y=ax(a0且a≠1)与对数函数y=logax(a0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
知识拓展
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab=eq\f(1,logba);
(2)=eq\f(n,m)logab.
其中a0且a≠1,b0且b≠1,m,n∈R.
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
重点难点突破
【题型一】对数的运算
【典型例题】
若函数f(x)=1+x3,则f(lg2)+f(1g)=()
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
【再练一题】
已知奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当x∈(0,1)时,f(x)=4x,则f(log4184)=()
A. B. C. D.
思维升华对数运算的一般思路
(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
【题型二】对数函数的图象及应用
【典型例题】
设函数y=f(x)的图象与y=log2(x+a)的图象关于直线y=﹣x对称,且f(﹣2)+f(﹣1)=2,则a=()
A.3 B.1 C.2 D.4
【再练一题】
已知l1,l2分别是函数f(x)=|lnx|图象上不同的两点P1,P2处的切线,l1,l2分别与y轴交于点A,B,且l1与l2垂直相交于点P,则△ABP的面积的取值范围是()
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
【题型三】对数函数的性质及应用
命题点1对数函数的单调性
【典型例题】
已知函数y=log2(ax﹣1)在(﹣2,﹣1)上单调递减,则a的取值范围是.
【再练一题】
对于任意x∈R,函数f(x)满足f(2﹣x)=﹣f(x),且当x≥1时,函数f(x)=lnx,若a=f(2﹣0.3),b=f(log3π),c=f()则a,b,c大小关系是()
A.b>a>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a
命题点2和对数函数有关的复合函数
【典型例题】
若函数y=loga(x2﹣ax+1)有最小值,则a的取值范围是.
【再练一题】
若函数有最小值,则实数a的取值范围是()
A.(1,) B.[,+∞)
C.(0,1) D.(0,1)∪(1,)
思维升华(1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正,明确底数对单调性的影响.
(2)解决与对数函数有关的复合函数问题,首先要确定函数的定义域,根据“同增异减”原则判断函数的单调性,利用函数的最值解决恒成立问题.
基础知识训练
1.幂函数曲线y=xb,当b1时的图像为()
A.
B.
C.
D.
2.已知,则()
A.B.
C.D.
3.已知幂函数的图象过,若,则值为()
A.1
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