专题16 导数与函数的综合问题-高考数学一轮复习（文理通用）（原卷版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题16导数与函数的综合问题

必威体育精装版考纲

重点难点突破

【题型一】导数与不等式

命题点1证明不等式

【典型例题】

当x＞y＞e﹣1时，证明不等式：exln（1+y）＞eyln（1+x）．

【再练一题】

（1）证明不等式ln（1+x）＜x，x＞0

（2）在数列{an}中．已知a1，且1，求数列{an}的通项公式an．

命题点2不等式恒成立或有解问题

【典型例题】

已知函数f（x）＝lnx﹣x2﹣ax．

（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）则x＝1处的切线方程；

（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

【再练一题】

已知函数f（x）alnx（a＞0）．

（Ⅰ）若函数y＝f（x）图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f（x）的极值点；

（Ⅱ）若不等式f（x）＜2有解，求a的取值范围．

思维升华(1)利用导数证明不等式的方法

证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用F(x)的单调性证明．

(2)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

①首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．

②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

【题型二】利用导数研究函数的零点问题

【典型例题】

函数f（x）＝ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的范围为（）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（﹣2，+∞）

【再练一题】

已知函数f（x）＝ex﹣x﹣a（a∈R）．

（1）当a＝0时，求证：f（x）＞x；

（2）讨论函数f（x）在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．

思维升华利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略

研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题．可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数．

【题型三】利用导数研究生活中的优化问题

【典型例题】

如图，某湿地公园ABCD是一个边长为2km正方形区域，以B为圆心，以1km为半径有一块四分之一圆形水域，其余区域为草地．为方便市民休闲观光，市政府计划修建一条从A到C的道路，路线是AE﹣EF﹣FC，要求：E、F分别在线段AM、NC上，且EF与圆弧MN相切于H．

已知：AE段、FC段的修建费用均是m万元/km，EF段的修建费用是3m万元/km（其中m是正常数）．记从A到C修建道路的总费用为y（单位：万元）．

（1）设∠HBC＝θ（rad），将y表示成θ的函数；

（2）问：E，F分别选在何处时，修建道路的总费用最小？并求出最小费用．

【再练一题】

如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上，已知AB＝8，AD＝6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米．

（1）若l＝4，求S1的最大值；

（2）若S2＝2S1，求l的取值范围．

思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．

(4)回归实际问题，结合实际问题作答．

基础知识训练

1．【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为（）

A． B．

C． D．

2．【天津市第一中学2019届高三一月月考】已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

3．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为()

A． B． C． D．

4．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知函数，则使不等式成立的的最小整数为（）

A．-3 B．-2 C．-1 D．0

5．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

6．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】若函数的图象不经过第四象限，则正实数的取值范围为()

A． B． C． D．

7．【安徽省1号卷?A10联盟2019年高考最后一卷】已知函数的导函数为，为自然对数的底数，对均有成立，且，则不等式的解集是（）

A． B． C． D．

8．【江