专题39 空间几何体的表面积与体积-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题39空间几何体的表面积与体积

必威体育精装版考纲

了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.

基础知识融会贯通

1．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.柱、锥、台、球的表面积和体积

名称

几何体

表面积

体积

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)Sh

台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

【知识拓展】

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

重点难点突破

【题型一】求空间几何体的表面积

【典型例题】

在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（）

A． B．6π C． D．

【解答】解：△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体一个大圆锥去掉一个小圆锥，

因为AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以OA，AB＝2

所以所形成的几何体的表面积是

故选：A．

【再练一题】

如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面

S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π．

故所求几何体的表面积为68π

由，

所以，旋转体的体积为

思维升华空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

【题型二】求空间几何体的体积

命题点1以三视图为背景的几何体的体积

【典型例题】

设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．

【解答】解：该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，

长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，

故所求体积为，

表面积为．

【再练一题】

如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．π B． C． D．

【解答】解：由三视图可知几何体是有四分之一个球与一个半圆柱组成，圆柱的底面半径与球的半径相同为：1，圆柱的高为2，组合体的体积为：．

故选：B．

命题点2求简单几何体的体积

【典型例题】

正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（）

A．1：4 B．3：8 C．1：2 D．2：3

【解答】解：如图，棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，

∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，

∴棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，

棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，

则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积

V＝正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3个正四棱锥P﹣ABCD的体积

个正四棱锥P﹣ABCD的体积，

则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．

故选：A．

【再练一题】

一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）

A． B． C． D．

【解答】解：设球的半径为r；正三棱锥的底面面积，h＝2r，．

所以

故选：A．

思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

【题型三】与球有关的切、接问题

【典型例题】

在三棱锥P﹣A