专题41 直线、平面平行的判定与性质-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题41直线、平面平行的判定与性质

必威体育精装版考纲

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

基础知识融会贯通

1．线面平行的判定定理和性质定理

2.面面平行的判定定理和性质定理

【知识拓展】

重要结论：

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

重点难点突破

【题型一】直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

【典型例题】

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：

（1）DE∥平面ABB1A1；

（2）BC1⊥平面A1B1C．

【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

所以侧面ACC1A1为平行四边形．

又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，

同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．

又AB?平面ABB1A1，DE?平面ABB1A1，

所以DE∥平面ABB1A1．

（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．

又因为A1B1?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1，

又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1?平面BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，

所以A1B1⊥平面BCC1B1，

又因为BC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，

又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．

又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C?平面A1B1C，

所以BC1⊥平面A1B1C．

【再练一题】

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，其中底面ABCD为等腰梯形，BC∥AD且BC＝2AD＝4，PA＝PD＝AB，E为PB的中点，O为AD的中点．

（1）求证：AE∥平面PCD；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：BO⊥PC．

【解答】（1）证明：取PC中点F，连接EF，DF，

∵E为PB中点，

∴EF∥BC，EF，

∵，

∴EF∥AD，EF＝AD，

∴AEFD为平行四边形，

∴AE∥DF，

又AE?平面PCD，DF?平面PCD，

∴AE∥平面PCD；

（2）证明：连接OP，OC，

∵PA＝PD，

∴PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴PO⊥OB，

在等腰梯形ABCD中，利用BC＝2AD＝4，AB，

可求得OB＝OC＝2，

∴OB2+OC2＝BC2，

∴OB⊥OC，

∴OB⊥平面POC，

∴BO⊥PC．

命题点2直线与平面平行的性质

【典型例题】

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE⊥AD．

（1）求证：AD⊥CE；

（2）求证：BF∥平面CDE．

【解答】证明：（1）∵在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，

侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE⊥AD．

∴AD⊥DC，又DE∩DC＝D，

∴AD⊥平面DCE，

∵CE?平面DCE，∴AD⊥CE．

（2）∵AF∥DE，AB∥DC，AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，

∴平面ABF∥平面DCE，

∵BF?平面ABF，∴BF∥平面CDE．

【再练一题】

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．

（1）求证：EF∥AB；

（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．

【解答】解：（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，

∵AB?面PCD，CD?平面PCD，

∴AB∥平面PCD，

又AB?平面ABE，

平面PCD∩平面ABE＝EF，

∴AB∥EF；

（2）由（1）可知EF∥CD，

∵E为PC中点，

∴F为PD中点，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴DC⊥平面PAD，

∴VP﹣AEF＝VE﹣PAF

．

思维升华判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点)．

(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．

(3)利用面面平行的性质(α∥β，a?α?a∥β)．

(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．

【题型二】平面与平面平行的判定与性质

【典型例题】

已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，，M为EF的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABF∥平面DCE；

（Ⅱ）求证：AM∥平面BDE；

（Ⅲ）求证：AM⊥平面BDF．

【解答】解：（Ⅰ）因为正