专题42 直线、平面垂直的判定与性质-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题42直线、平面垂直的判定与性质

必威体育精装版考纲

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

基础知识融会贯通

1．直线与平面垂直

(1)定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．

(2)判定定理与性质定理

2.直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

3．平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

【知识拓展】

重要结论

(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．

重点难点突破

【题型一】直线与平面垂直的判定与性质

【典型例题】

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．

（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；

（Ⅱ）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣PAD与三棱锥﹣DEF的体积相等，求的值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）证明：连接AC，∵PA＝PD，且E是AD的中点，

∴PE⊥AD，…1分

又∵面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PE⊥平面ABCD，…2分

∵BD?平面ABCD，

∴BD⊥PE，…3分

又四边形ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，

∴EF∥AC，BD⊥AC，

∴BD⊥EF，…4分

又BD⊥PE，PE∩EF＝E，

∴BD⊥平面PEF；…6分

（Ⅱ）如图，连接MA，MD，设λ，则，

∴VM﹣PADVB﹣PADVP﹣ABD，…8分

又VP﹣DEFVP﹣ACDVP﹣ABD，…10分

∵VM﹣PAD＝VP﹣DEF，

∴，解得：λ，即．…12分

【再练一题】

如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为DC的中点．以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．

（Ⅰ）求证：EC∥平面PAB；

（Ⅱ）求证：BE⊥PA；

（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，是否都有PA⊥EM成立？请证明你的结论．

【解答】（本小题14分）

证明：（Ⅰ）在矩形ABCD中，E是CD中点，

所以CE∥AB……………AB?平面PAB，CE?平面PAB

所以EC∥平面PAB……………

（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB＝2CD，E是CD中点，

可得AB2＝AE2+BE2

所以BE⊥AE……………..

又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE

所以BE⊥平面PAE………..PA?平面PAE

所以BE⊥PA……………

解：（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，都有PA⊥EM成立．证明如下………………..

因为矩形ABCD，所以DA⊥DE，即PA⊥PE………..

由（Ⅱ）得BE⊥PA

而BE?平面PEB，PE?平面PEB，PE∩BE＝E

所以PA⊥平面PEB………………

对于线段PB上任意一点M，EM?平面PEB

所以PA⊥EM…………………

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

【题型二】平面与平面垂直的判定与性质

【典型例题】

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，，E为AB的中点．

（1）平面