专题53 抛物线-高考数学一轮复习(文理通用)（解析版）.doc

专题53抛物线

必威体育精装版考纲

1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

基础知识融会贯通

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

【知识拓展】

1．抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．

2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4).

3．设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.

(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．

重点难点突破

【题型一】抛物线的定义及应用

【典型例题】

已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）

A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x

【解答】解：令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，

则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA＝1+r，d＝r，

P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，

所以PA﹣d＝1，即（x+1）＝1，

化简得：y2＝8x．

故选：C．

【再练一题】

已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）

A．5 B． C．4 D．

【解答】解：依题意可知焦点F（，0），准线x，延长PM交准线于H点．则|PF|＝|PH|．

|PM|＝|PH||PF|，

|PM|+|PA|＝|PF|+|PA|，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．

由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①

设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（，）舍去．

当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|．

则所求为|PM|+|PA|．

故选：B．

思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

【题型二】抛物线的标准方程和几何性质

命题点1求抛物线的标准方程

【典型例题】

已知抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），则抛物线的标准方程为（）

A．x2＝4y B．x2＝﹣4y C．y2＝4x D．y2＝﹣4x

【解答】解：∵抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），

∴抛物线是焦点在x轴负半轴的抛物线，且，得p＝2．

∴抛物线的标准方程为y2＝﹣4x．

故选：D．

【再练一题】

已知抛物线y2＝24ax（a＞0）上的点M（3，y0）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（）

A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x

【解答】解：由题意知，3+6a＝5，

∴a，

∴抛物线方程为y2＝8x．

故选：A．

命题点2抛物线的几何性质

【典型例题】

已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣4a＜0）当|AB|+|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝（）

A．1 B． C． D．2

【解答】解：点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣4a＜0），

可得B在抛物线的开口之内，

设A在准线x＝﹣1上的射影为M，

由抛物线的定义可得|AF|＝|AM|，

当M，A，B三点共线时，|AB|+|AF|取得最小值，

即有A（，b），F（1，0），

△ABF恰好正三角形，可得a2，

b（a），

解得a，

故选：C．

【再练一题】

过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若|NF|＝10，则|MF|＝（）

A． B． C． D．

【解答】解：设M（x0，y0），F（3，0）．

∵|NF|＝10，∴62102，12x0，

解得x0，

则MF|3．

故选：B．

思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

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