专题56 定点、定值、探索性问题-高考数学一轮复习(文理通用)（原卷版）.doc

专题56定点、定值、探索性问题

必威体育精装版考纲

1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．

2.了解圆锥曲线的简单应用．

3.理解数形结合的思想.

重点难点突破

【题型一】定点问题

【典型例题】

已知双曲线T1：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线T1的渐近线的距离为．已知点E（2，0）为抛物线T2内一定点，过E作两条直线交抛物线T2于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．

（Ⅰ）求抛物线T2的方程；

（Ⅱ）若kAB+kCD＝2，证明：直线MN过定点．

【再练一题】

已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A（2，0）且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M．

（1）求抛物线C1的方程；

（2）试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．

【题型二】定值问题

【典型例题】

已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN?kOP（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由．

【再练一题】

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与椭圆C：有相同的焦点F，且两曲线相交于点，过F作斜率为k（k≠0）的动直线l，交椭圆C于M，N两点．

（Ⅰ）求抛物线E和椭圆C的方程；

（Ⅱ）若A为椭圆C的左顶点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：为定值，并求出该定值．

思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

【题型三】探索性问题

【典型例题】

已知圆A：x2+y2+2x﹣15＝0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP＝∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

【再练一题】

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

思维升华解决探索性问题的注意事项

探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．

基础知识训练

1．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月高考冲刺模拟】椭圆C:(ab0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明为定值，并求出该定值.

2．【北京市昌平区2019年高三年级第二次统一练习】已知椭圆的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．

（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

3．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设直线与轨迹交于两点，、，且(，且为常数)，过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点，连接、.试判断的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由

4．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)】如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、