专题57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）.doc

专题57分类加法计数原理与分步乘法计数原理

必威体育精装版考纲

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”.

2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.

基础知识融会贯通

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

重点难点突破

【题型一】分类加法计数原理的应用

【典型例题】

设x1，x2，x3，x4∈{﹣1，0，2}，那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数对（x1，x2，x3，x4）的组数为

【再练一题】

今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种

A．204 B．288 C．348 D．396

思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．

【题型二】分步乘法计数原理的应用

【典型例题】

乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有项．

【再练一题】

某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（）

A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96

C．9×106 D．81×105

思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

【题型三】两个计数原理的综合应用

命题点1与数字有关的问题

【典型例题】

用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数．

A．6 B．9 C．10 D．8

【再练一题】

从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（）

A．9个 B．15个 C．45个 D．51个

命题点2涂色、种植问题

【典型例题】

如图所示的几何体是由一个三棱锥P﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）

A．6种 B．9种 C．12种 D．36种

【再练一题】

从6种不同的蔬菜种子a，b，c，d，e，f中选出4种，分别种在4块不同的土壤A，B，C，D中进行试验，已有资料表明A土壤不宜种植a，B土壤不宜种植b，但a，b品种产量高，现a，b品种必种的试验方案有种．（用数字作答）

命题点3与几何有关的问题

【典型例题】

用四种不同的颜色给三棱柱ABC﹣A1B1C1六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）种．

A．288 B．240 C．168 D．264

【再练一题】

一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（）

A．至多能剪成19块“L”形骨牌

B．至多能剪成20块“L”形骨牌

C．一定能剪成21块“L”形骨牌

D．前三个答案都不对

思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么．

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．

(3)弄清分步、分类的标准是什么．

(4)利用两个计数原理求解．

基础知识训练

1．【江西省九江市2018-2019学年高二下学期期末】学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2