立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型(学生版).pdfVIP

立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型

1.知识梳理

一、墙角模型

适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

2222222

直接用公式(2R)=a+b+c，即2R=a+b+c，求出R

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑

二、麻花模型

适用范围：对棱相等相等的三棱锥

对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。

推导过程：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，(AB=CD，AD=BC，AC=BD)

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，

AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组，

222

a+b=x222

2222222x+y+z

b+c=y⇒(2R)=a+b+c=，



2

222



c+a=z

11

补充：A−BCD=abc−abc×4=abc

63

222

222x+y+z

第三步：根据墙角模型，2R=a+b+c=2，

222222

2x+y+zx+y+z

R=，R=，求出R.

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三、垂面模型

·1·

适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。

推导过程：

第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，

作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O.

第二步：O为ABC的外心，所以OO⊥平面ABC，

11

算出小圆O的半径OD=r11

(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a=sinBb=sinCc=2r,

1sinA

OO=PA.

12

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

22222

(1)(2R)=PA+(2r)⇔2R=PA+(2r)；

22222

(2)R=r+OO⇔R=r+OO.

11

22h2

公式：R=r+4

四、切瓜模型

适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心O、O过两个外心做两个垂面的垂线，

12

两条垂线的交点即为球心0，取BC的中点为E，

连接OO、OO、OE、OE为矩形