4.3.2（2）等比数列前n项和的性质及应用课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

4.3.2(2)等比数列前n项和的性质及应用

等比数列的前n项和公式?????

【例1】在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

【问题1】已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，证明：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比.证明：

【问题1】已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，证明：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比.【思考1】不用分类讨论能否证明该结论？【思考2】为什么题目条件中强调“公比q≠-1”？

数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1，且n不是偶数)，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍构成首项为_______，公比为_______等比数列.等比数列前n项和公式的片段和性质注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.【例1】在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

?√

【问题2】类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？若等比数列{an}的项数有2n项，S偶=a2+a4+…+a2nS奇=a1+a3+…+a2n-1若等比数列{an}的项数有2n+1项，S偶=a2+a4+…+a2nS奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1

若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，(1)在其前2n项中，(2)在其前2n+1项中，??等比数列前n项和公式的奇偶项和性质?

【例2】（1）已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q=.?2（2）若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为，项数为.?29

?120

【问题3】你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn.思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn=Sn+qnSm.]等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n=等比数列前n项和公式的下标性质Sm+qmSn=Sn+qnSm

【例1】在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

方法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，??【例1】在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

?【例1】在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

?【例1】在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

【例3】如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.（1）求{an}的通项公式及S2024.（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？

【变式】去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．

解：

【例4】

数列求和等比数列前n项和的性质与应用等比数列前n项和的性质数学思想方法类比思想极限思想应用实际问题数字化——数字建模课堂小结