高考数学二轮复习名师知识点总结：二项式定理.doc

知识点总结与练习

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二项式定理

【高考考情解读】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．

基础梳理

1．二项式定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．

其中的系数Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．

式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr.

2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).

3．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).

(2)增减性与最大值：

二项式系数Ceq\o\al(k,n)，当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；

当n是偶数时，中间一项Ceq\f(n,2)n取得最大值；

当n是奇数时，中间两项Ceq\f(n－1,2)n，Ceq\f(n＋1,2)n取得最大值．

(3)各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；

Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.

三条性质

(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；

以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．

双基自测

1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．

A．80B．40C．20D．10

解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)r＝2rCeq\o\al(r,5)xr，当r＝2时，T3＝40x2.答案B

2．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b为有理数)，则a＋b＝()．

A．45B．55C．70D．80

解析(1＋eq\r(2))5＝1＋5eq\r(2)＋10(eq\r(2))2＋10(eq\r(2))3＋5(eq\r(2))4＋(eq\r(2))5＝41＋29eq\r(2)

由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.答案C

3．(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．

A．9B．8C．7D．6

解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16

∴a0＋a2＋a4＝8.答案B

4．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．

A．6B．7C．8D．9

解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)r＝3rCeq\o\al(r,n)xr由已知条件35Ceq\o\al(5,n)＝36Ceq\o\al(6,n)即Ceq\o\al(5,n)＝3Ceq\o\al(6,n)eq\f(n！,5！?n－5?！)＝3eq\f(n！,6！?n－6?！)

整理得n＝7答案B

5．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.

解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,21)x21－r(－1)r＝(－1)rCeq\o\al(r,21)x21－r

由题意知a10，a11分别